der Hinweis von Gast ist gut und richtig.
Die Determinante ist eine Funktion, die jeder Matrix eine reelle Zahl zuordnet.
Es ist von entscheidender Bedeutung für die Eigenschaften der Matrix, ob die Determinante Null oder ungleich Null ist. Ist die Determinante der Matrix Null, so gibt es unendlich viele Lösungen bei homogenen Gleichungssystemen und keine Lösung bei inhomogenen Gleichungssystemen. Die Determinante spielt somit eine Rolle bei der Lösbarkeit.
Nun zu deiner Lösung:
Bei der Regel von Sarrus hast du dich sicher nur vertan, dein Ansatz ist richtig.
det(A) = a³ - 4a
Nullsetzen ist auch richtig.
0 = a³ - 4a
Richtig ist auch, dass ganzrationale Funktionen maximal so viele Nullstellen haben können wie der höchste Exponent. (Hier sind es drei)
Hat die Funktion einen Grad größer als 2 (Hier gleich drei), dann gibt es mehrere Möglichkeiten.
a) Ausklammern, wenn möglich. (Hier möglich, da kein absolutes Glied da ist) Das reduziert den Grad der ganzrationalen Funktion/ des Polynoms.
b) Polynomdivision/ Zerlegung in Linearfaktoren/ Schätzen einer Nullstelle und Division durch Term
c) Substitution bei biquadratischer Gleichung, (Grad vier)
d) Anwendung der cardanschen Formel bei Grad drei :-D
Ist der Grad der Funktion durch Ausklammern oder Polynomdivision als Faktor reduziert, könnten dann die Formeln für quadratische Funktionen genutzt werden, muss aber nicht. HIER ist der einfachste Ansatz
a) Ausklammern von einem a
b) Faktorisieren "des Restes" durch Anwendung der dritten binomischen Formel.
0 = a³ -4a = a(a² - 4) = a(a+2)(a-2)
Jeder Faktor für sich nullgesetzt, ergeben drei Nullstellen. Welche?
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