Für welche x ist f definiert

Question

Ich möchte herausfinden, für welche x die Funktion definiert ist. Wie ist hierbei vorzugehen ?

$$ lim\quad n->infinity\quad \quad \frac { { x }^{ 2n } }{ 1+{ x }^{ 2n } }  $$

Answer 1

Hi,

probier doch einfach paar Fälle durch und schau ob der Grenzwert tatsächlich existiert.

Zum Beispiel: für x=0 ist die Funktion definiert.

Was ist wenn x>0 (hier kann man noch eine kleine Fallunterscheidung machen)

Man kann sich auch überlegen: ist die Funktion für ein bestimmtes x>0 definiert, so ist sie auch für -x definiert (sprich man braucht sich nur das Grenzwertverhalten für positive x zu betrachten).

Gruß

Comments

Ah okay ich verstehe. Wenn ich also jetzt nur den Zähler betracht, dann kann ich z.B. sagen, dass dies gegen unendlich geht sobald x größer als 1 ist.

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Ja und dann kannst du den Zettel auf den du das geschrieben hast direkt in den Kamin bzw. Papierkorb schreiben.

Der Nenner würde doch auch gegen unendlich gehen! Einfach den Zähler zu betrachten ist sehr fahrlässig.

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Das war missverständlich von mir wiedergegeben. Ich meinte das in etwa so, wenn wir nur den Zähler hätten...

Natürlich muss man das auf den Nenner & Zähler anwenden

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Achso dann hab ich dich falsch verstanden (zum Glück) :)

Answer 2

Hi,
die Funktion ist überall definiert, weil \( x^{2n} = \left( x^2 \right)^n \) gilt und \( x^2 > 0 \) gilt. Also ist auch \( 1 + x^{2n} > 0 \) D.h. der Nenner ist nirgends \( 0 \).
Was den Grenzwert angeht stellt man den Term am besten in der Form \( \frac{1}{\frac{1}{x^{2n}} + 1} \) dar. Jetzt muss man die Fälle \(  |x| > 1  \), \( |x| < 1 \) und \( |x| = 1 \) unterscheiden. Im ersten Fall gilt \(  x^{2n} \to \infty \), im zweiten Fall gilt \( x^{2n} \to 0  \) und im dritten Fall gilt \( x^{2n} \to 1 \)
Damit ergeben sich drei mögliche Grenzwerte, nämlich im ersten Fall \( 1 \), im zweiten Fall \( 0 \) und im dritten Fall ergibt sich \( \frac{1}{2} \)

Comments

Danke für die gute Lösung, ich habs verstanden und keine Fragen mehr. Danke !