Zeichenwechsel und Anzahl der Nullstellen ermitteln

Question

gegeben ist ein Polynom \( f(t) = t^n + a_{n-1}t^{n-1} + ... + a_0 \in \mathbb{R}[t] \) mit \( a_0 \not = 0 \).

\( f_{-} (t) := f(-t) \)

\( N_+(f) := \) Anzahl der positiven Nullstellen von \(f\) und Analog für \( N_{-}(f) \).

\( Z(f) \) := Anzahl der Zeichenwechsel von \( f \).

Zeige \( N_+(f) \le Z(f) \Rightarrow N_{-}(f) \le Z(f_{-}) \).

Ich verstehe nicht ganz den Zusammenhang mit \( f_{-}(t) \). Bitte um Erklärung.

Comments

Hallo Lu und danke für Deine Hilfe. Jetzt bin ich bisschen verwirrt, denn ich weiß immer noch nicht genau was \(f_{-}(t)\) ist und deswegen auch wie ich die Aufgabe löse.

Kann also \( f_{-}(t) := f(-t) \) definitiv nicht gehen? Das Beispiel habe ich aus dem Buch LA, Fischer auf Setie 72. Ist es also ein Fehler im Buch und ist hier \( f(t) = f(-t) \) gemeint? So würde ich, denke ich, das auch so sehen.

Ich nehme also an, dass \( f_{-} \) eine Funktion ist, die aus jedem \( \lambda \in \mathbb{R} \) ein \( - \lambda \) macht und diesem den Wert \( f(\lambda) \) zuordnet.

Zu zeigen ist \( N_{-}(f) = N_+(f_{-}) \)

Sei \( \lambda\) eine negative Nullstelle von \( f \), dann wir aus \( lambda \) ein \( - \lambda \) und somit ein positives Element. Es ist offensichtlich auch eine Nullstelle von \( f_{-} \). Jede negative Nullstelle von \(f\) ist also eine positive Nullstelle von \(f_{-}\).

Die Rückrichtung geht analog.

Bitte um Korrektur und überhaupt ob meine Vorstellung über \( f_{-} \) richtig ist.

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Wenn dir die Bezeichnung Probleme bereitet, dann nenne die Funktuion \(f_-\) doch einfach \(g\). Dann hast du die Definition \(g(t):=f(-t)\). Mehr ist es nicht. Versuch doch mal, die zu zeigende Behauptung in Worten zu formulieren.

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Hast du Folgendes exakt abgeschrieben?

Zeige \( N_+(f) \le Z(f) \Rightarrow N_{-}(f) \le Z(f_{-}) \). 

Steht bei keinem der N in der Klammer f_-  ?

Ich gehe eigentlich inwischen davon aus, dass die Spiegelung gemeint war.

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https://de.wikipedia.org/wiki/Vorzeichenregel_von_Descartes

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Nein, es ist genau so wie Du das geschrieben hast.

Answer 1

Wenn f_ (t) nicht mit einem Doppelpunkt als Definition gekennzeichnet wäre, sondern einfach

f(t) = f(-t) gefordert wäre, wäre der Graph von f symmetrisch zur y-Achse.

Mit dem Doppelpunkt mach die Sache wenig Sinn.

f_ (t) hat als Graph einfach den an der y-Achse gespiegelten Graphen von f. Überlege nun von hier aus, ob die geforderten Ungleichungen Sinn machen.

Comments

"Mit dem Doppelpunkt macht die Sache wenig Sinn."

Und warum?

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cb717.

Sagen wir: Es sieht komisch aus. f_ (t) sieht sehr nach f_(t) aus.

Und die Behauptung scheint (wegen Spiegelung) trivial.

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Mit \(f_-\) ist die gespiegelte Funktion \(f\) gemeint.

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Wegen Spiegelung gilt

Z(f) = Z(f_)

N₊(f) = N_  (f_)

Aber nicht unbedingt

N₊(f) = N_  (f)

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Lu, oben habe ich eine Antwort (Frage) gestellt. Sollte eigentlich hier stehen.

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Kann sein, es war alles quatsch was ich gemacht habe. Wenn f_(t) := f(-t) Spiegelung von f(t), dann ist N_(f) = N+(f_) offensichtlich und bin fertig. Die Frage wäre vielleicht von warum ist f_(t) eine Spiegelung.

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f _ (t) := f(-t)

"ist" nicht eine Spiegelung. Sondern: Wenn man der Graphen  f(t) an der y-Achse spiegelt, bekommt man f _ (t) .

Dazu ist keine Voraussetzung für f nötig.

Anderes (ergänzendes) Thema: Wenn f(t) = f(-t) ==> der Graph von f ist symmetrisch zur y-Achse. Vgl. https://www.matheretter.de/wiki/achsensymmetrie

Wenn du dort das erste kostenfreie Video genau ansiehst, könntest du verstehen, warum die Graphen von  f _ (t) := f(-t) und f(t) durch Spiegelung auseinander hervorgehen.

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Lu, aber f_(t) ist doch eine Funktion die durch Spiegelung der Funktion f entsteht oder nicht? Wenn das so ist, dann ist N_(f) = N+(f_) trivial und daraus folgt die gesamte Implikation.

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Mit f_{t meine ich \( f_{-} \) (wurde falsch formatiert).}

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jc224: Hast du meinen Kommentar, den ich vor 21 Stunden geschrieben habe, nicht gesehen.

In der Fragestellung fehlt mir für die Trivialität der Implikation ein MINUS bei einem der beiden f .

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Lu, ich verstehe Dein Problem nicht.

Wegen Spiegelung geht doch \( N_{-}(f) = N_+(f_{-}) \). In Worten: Genau dann wenn \( f \) n negativen Nullstellen hat, dann hat die gespiegelte Funktion \( f_{-} \) an der y-Achse n Nullstellen im positiven Bereich. Das ist trivial.

Wenn ich das habe, dann nutze ich die Annahme. Diese lautet \( N_+(f) \le Z(f) \). Hier ersetzte ich \(f\) mit \( f_{-} \) und habe \( N_+(f_{-}) \le Z(f_{-}) \). Da \( N_{-}(f) = N_+(f_{-}) \), endet der Beweis.