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gegeben ist ein Polynom f(t)=tn+an1tn1+...+a0R[t] f(t) = t^n + a_{n-1}t^{n-1} + ... + a_0 \in \mathbb{R}[t] mit a00 a_0 \not = 0 .

f(t) : =f(t) f_{-} (t) := f(-t)

N+(f) : = N_+(f) := Anzahl der positiven Nullstellen von ff und Analog für N(f) N_{-}(f) .

Z(f) Z(f) := Anzahl der Zeichenwechsel von f f .


Zeige N+(f)Z(f)N(f)Z(f) N_+(f) \le Z(f) \Rightarrow N_{-}(f) \le Z(f_{-}) .


Ich verstehe nicht ganz den Zusammenhang mit f(t) f_{-}(t) . Bitte um Erklärung.

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Hallo Lu und danke für Deine Hilfe. Jetzt bin ich bisschen verwirrt, denn ich weiß immer noch nicht genau was f(t)f_{-}(t) ist und deswegen auch wie ich die Aufgabe löse.

Kann also f(t) : =f(t) f_{-}(t) := f(-t) definitiv nicht gehen? Das Beispiel habe ich aus dem Buch LA, Fischer auf Setie 72. Ist es also ein Fehler im Buch und ist hier f(t)=f(t) f(t) = f(-t) gemeint? So würde ich, denke ich, das auch so sehen.

Ich nehme also an, dass f f_{-} eine Funktion ist, die aus jedem λR \lambda \in \mathbb{R} ein λ - \lambda macht und diesem den Wert f(λ) f(\lambda) zuordnet.

Zu zeigen ist N(f)=N+(f) N_{-}(f) = N_+(f_{-})


Sei λ \lambda eine negative Nullstelle von f f , dann wir aus lambda lambda ein λ - \lambda und somit ein positives Element. Es ist offensichtlich auch eine Nullstelle von f f_{-} . Jede negative Nullstelle von ff ist also eine positive Nullstelle von ff_{-}.

Die Rückrichtung geht analog.

Bitte um Korrektur und überhaupt ob meine Vorstellung über f f_{-} richtig ist.
Wenn dir die Bezeichnung Probleme bereitet, dann nenne die Funktuion ff_- doch einfach gg. Dann hast du die Definition g(t) : =f(t)g(t):=f(-t). Mehr ist es nicht. Versuch doch mal, die zu zeigende Behauptung in Worten zu formulieren.

Hast du Folgendes exakt abgeschrieben?

Zeige N+(f)Z(f)N(f)Z(f) N_+(f) \le Z(f) \Rightarrow N_{-}(f) \le Z(f_{-})

Steht bei keinem der N in der Klammer f-  ?

Ich gehe eigentlich inwischen davon aus, dass die Spiegelung gemeint war.

Nein, es ist genau so wie Du das geschrieben hast.

1 Antwort

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Wenn f_ (t) nicht mit einem Doppelpunkt als Definition gekennzeichnet wäre, sondern einfach

f(t) = f(-t) gefordert wäre, wäre der Graph von f symmetrisch zur y-Achse.

Mit dem Doppelpunkt mach die Sache wenig Sinn.

f_ (t) hat als Graph einfach den an der y-Achse gespiegelten Graphen von f. Überlege nun von hier aus, ob die geforderten Ungleichungen Sinn machen.

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"Mit dem Doppelpunkt macht die Sache wenig Sinn."

Und warum?

cb717.

Sagen wir: Es sieht komisch aus. f_ (t) sieht sehr nach f_(t) aus.

Und die Behauptung scheint (wegen Spiegelung) trivial.

Mit ff_- ist die gespiegelte Funktion ff gemeint.

Wegen Spiegelung gilt

Z(f) = Z(f_)

N+(f) = N_  (f_)

Aber nicht unbedingt

N+(f) = N_  (f)

Lu, oben habe ich eine Antwort (Frage) gestellt. Sollte eigentlich hier stehen.

Kann sein, es war alles quatsch was ich gemacht habe. Wenn f_(t) := f(-t) Spiegelung von f(t), dann ist N_(f) = N+(f_) offensichtlich und bin fertig. Die Frage wäre vielleicht von warum ist f_(t) eine Spiegelung.

f _ (t) := f(-t)

"ist" nicht eine Spiegelung. Sondern: Wenn man der Graphen  f(t) an der y-Achse spiegelt, bekommt man f _ (t) .

Dazu ist keine Voraussetzung für f nötig.

Anderes (ergänzendes) Thema: Wenn f(t) = f(-t) ==> der Graph von f ist symmetrisch zur y-Achse. Vgl. https://www.matheretter.de/wiki/achsensymmetrie

Wenn du dort das erste kostenfreie Video genau ansiehst, könntest du verstehen, warum die Graphen von  f _ (t) := f(-t) und f(t) durch Spiegelung auseinander hervorgehen.

Lu, aber f_(t) ist doch eine Funktion die durch Spiegelung der Funktion f entsteht oder nicht? Wenn das so ist, dann ist N_(f) = N+(f_) trivial und daraus folgt die gesamte Implikation.

Mit ft meine ich f f_{-} (wurde falsch formatiert).

jc224: Hast du meinen Kommentar, den ich vor 21 Stunden geschrieben habe, nicht gesehen.

In der Fragestellung fehlt mir für die Trivialität der Implikation ein MINUS bei einem der beiden f .

Lu, ich verstehe Dein Problem nicht.

Wegen Spiegelung geht doch N(f)=N+(f) N_{-}(f) = N_+(f_{-}) . In Worten: Genau dann wenn f f n negativen Nullstellen hat, dann hat die gespiegelte Funktion f f_{-} an der y-Achse n Nullstellen im positiven Bereich. Das ist trivial.

Wenn ich das habe, dann nutze ich die Annahme. Diese lautet N+(f)Z(f) N_+(f) \le Z(f) . Hier ersetzte ich ff mit f f_{-} und habe N+(f)Z(f) N_+(f_{-}) \le Z(f_{-}) . Da N(f)=N+(f) N_{-}(f) = N_+(f_{-}) , endet der Beweis.

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