Verhalten des Graphen in den Nullstellen?

Question

Bestimmen Sie die Nullstellen von f & g, die Art der Nullstellen (ob mit oder ohne VZW), das Verhalten der Funktion für

x → ∞ und x → - ∞ und skizzieren Sie den globalen Verlauf der Funktion.

Funktionen:

f(x) = \( x^{2} \)(x-4)(x-2)(x+3)

g(x) = \( x^{3} \)- 3\( x^{2} \) - x + 3

Meine Lösung:

Nullstellen von f:

      N1 (0|0)
      N2 (4|0) VZW
      N3 (2|0) VZW
      N4 (-3|0) VZW

Wie skizziere ich den globalen Verlauf?

Und bei g wollte ich den Horner Schema anwenden jedoch habe ich etwas Probleme damit, (also ich weiß nicht was ich einsetzen soll für die erste Nullstelle)

Hoffe jemand kann mir weiterhelfen.

Comments

Wie skizziere ich den globalen Verlauf?

Da gibt es diverse Möglichkeiten: Papier und Bleistift, Buntstift, Kugelschreiber, Filzstift...

Answer 1

Das ist nicht so schwer. Bei einfachen Nullstellen schneidet der Graph die x-Achse. Bei doppelten Nullstellen berührt der Graph die x-Achse. Zusammen mit dem Globalen verlauf von links unten nach rechts oben ergibt sich

~plot~ x^2(x-4)(x-2)(x+3);[[-4|5|-80|120]] ~plot~

~plot~ x^3-3*x^2-x+3;[[-2|4|-4|4]] ~plot~

Comments

Vielen Dank!

Wie bestimme ich die Nullstellen bei g?

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g(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3

Da die Summe aller Koeffizienten 0 ist, ist x = 1 die erste Nullstelle. jetzt macht man eine Polynomdivision oder das Horner Schema

(x^3 - 3x^2 - x + 3) : (x - 1) = x^2 - 2·x - 3

Von dem quadratischen Term bestimmst du die Nullstellen über den Satz von Vieta oder der pq-Formel.

x^2 - 2·x - 3 = 0
(x + 1)(x - 3) = 0
x = -1 oder x = 3

Damit hat man alle 3 Nullstellen und kann den Verlauf zeichnen.

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Dankeschön! :)