berechnung der nullstellen mit dem horner-schema?

Question

Hallo ich muss von folgenden funktionen die nullstellen mit dem horner schema berechnen!

1. f(x)= x³+4x²-4x-16

2. f(x)= 1/2x³+2x²-2x-8

3. f(x)=x⁴-9x³+14x²+36x-72

Answer 1

Hi, hier mein erster Rechenweg zu Aufgabe 1 von dir:

Das Horner Schema ist quasi eine andere Art der Polynomdivision. Wenn ich bei den von dir gegebenen Gleichungen mehrfach eine Polynomdivision durchführe (Unter der Annahme, dass man die Nullstellen erraten kann), dann kann ich mir diese Nullstellen merken, das sind hier etwa drei Nullstellen.

Wichtig mein Rechenweg zeigt dir, wie du grundsätzlich das Schema anwenden kannst.

Zur Überprüfung, die Nullstellen für Aufgabe 1 sind:

-4, -2 und 2, Es sind also drei Nullstellen für Aufgabe 1 zu bestimmen

// Siehe zusätzlich Plot:

~plot~ x^3+4x^2-4x-16 ~plot~

// Anmerkung für die Moderatoren, könntet Ihr das Bild bitte drehen?

-

Ich hoffe, dass dir das zunächst weiterhilft!

Und Teil 2:

(Zur Info oben probehalber nochmal mit Polynomdivision):

Answer 2

mit dem Hornerschema kannst Du keine Nullstellen berechnen. Du kannst höchstens einen Linearfaktor = Nullstelle abspalten, aber dazu muss dieser schon vorher bekannt sein.

Wenn Du diese Vorgehensweise mit dem Graphen machst, musst Du die potentiellen Stellen -4, -4 und +2 erst als Nullstellen beweisen, was Du hier mit f(-4), f(-2) und f(2) überprüfen kannst, nachdem Du sie vorher auf diese Weise als Vermutung gefunden haben könntest.

Nachdem nun alle 3 Nullstellen bekannt sind, ist jede weitere Rechnung überflüssig, dass Du sofort die Zerlegung f(x) = (x+4)(x+2)(x-2) angeben kannst.

Answer 3

mit der Aufgabenstellung ist gemeint, dass du eine Nullstelle durch Probieren der ±Teiler des konstanten Summanden [bei a) -16]   finden sollst [bei a)  z.B. x=2] und dann mit dem Hornerschema den zugehörigen Linearfaktor x-2 aus dem Funktionsterm "herausdividieren" sollst (an Stelle der Polynomdivision  f(x) : (x-1)).

Bei deinen Aufgaben verbleibt dann bei a) und b) jeweils ein quadratischen Term, so dass du mit der pq-Formel die restlichen Nullstellen aus  Resterm = 0 ausrechnen kannst.

Bei c) musst du bei dem Restterm noch eine Nullstelle durch Probieren finden und dann noch einmal  das Hornerschema anwenden, damit du einen quadratischen Restterm erhältst.

Hier  ein Video, in dem das Hornerschema erläutert wird

Kontrollergebnisse:

a) x³+4x²-4x-16 = (x - 2)·(x + 2)·(x + 4)

b) 1/2x³+2x²-2x-8 = 1/2·(x³+4x²-4x-16) = 1/2·(x + 2)·(x - 2)·(x + 4)

c) x⁴-9x³+14x²+36x-72 = (x + 2)·(x - 2)·(x - 3)·(x - 6)

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Bei der Überprüfung, ob bei einem Polynom mit einem bestimmten x-Wert eine Nullstelle vorliegt, ist das Hornerschema dann eine nützliche Rechenvereinfachung, wenn man keinen Rechner zur Verfügung hat und mit Dezimalzahlen arbeiten muss.

            x³ + 4x² - 4x   - 16 = 0   für x = 2 ?

            1      4      -4     -16 

[2]        /       2     12      16

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            1      6      8         0   →  f(2) = 0 

[ bei x=2 fällt das kaum auf, aber bei x = 1,23 o.ä.  rechnet sich das von Hand wirklich angenehmer als direktes Einsetzen in die Funktion. Ganz abgesehen davon, dass man - wenn eine Nullstelle vorliegt -, nebenbei auch noch die Polynomdivision zur Reduzierung des Polynoms erledigt hat: 

  x³ + 4x² - 4x   - 16 =  (x-2) · (1· x² + 6x + 8)  ]  

Gruß Wolfgang