Kombinatorik: Anzahl der Wörter der Länge 12 aus {X, Y} mit ungerader Anzahl X

Question

Aufgabe:

Wie viele Wörter der Länge 12 können aus den Buchstaben X und Y gebildet werden, die eine ungerade Anzahl von X enthalten?

Problem/Ansatz:

Das ist eine Klausuraufgabe aus einem hilfsmittelfreien Teil. Durch die Formel $$\frac{k!}{k_1!\cdot\cdot\cdot k_r!}$$ (wobei k_r die Anzahl eines Buchstabens in der Stichprobe ist), komme ich auf ein Ergebnis, allerdings ist das ohne Taschenrechner bei der Aufgabe quasi nicht auszurechnen. Weiß jemand von euch einen Trick oder einen simplen Weg für die Aufgabe?

Answer 1

Ist das nicht:

(12 über 1) + (12 über 3) + (12 über 5) + (12 über 7) + (12 über 9) + (12 über 11)

= (12 über 1) + (12 über 3) + (12 über 5) + (12 über 5) + (12 über 3) + (12 über 1)

= 2·((12 über 1) + (12 über 3) + (12 über 5))

= 2·(12 + 12·11·10/6 + 12·11·10·9·8/120)

= 2·(12 + 2·11·10 + 11·9·8)

= 2·(12 + 220 + 792)

= 2048

Comments

Stimmt, ich hab mich beim vereinfachen der Brüche etwas schwer getan. Danke für den "Tipp"!

Answer 2

Mein Ansatz ist $$ 2\cdot\left( {12 \choose 1} + {12 \choose 3} + {12 \choose 5} \right). $$

Comments

Mit etwas mehr Überlegen kommt man auf den Ansatz $$\dfrac{2^{12}}{2^1}=2^{11}.$$ Das lässt sich im Kopf rechnen.