Matrix Basis des dazugehörigen Eigenraums bestimmen: Was mache ich Falsch?

Question

Aufgabe:

Matrix Basis des dazugehörigen Eigenraums bestimmen: Was mache ich Falsch?

Problem/Ansatz:

Wo mache ich den Fehler? Was mache ich hier falsch? :/ 

Answer 1

Hallo

zum ersten Eigenvektor

 du kannst in deinem GS NICHT x1 und x2 unabhängig wählen , du hast ja auch selbst  t=-2s geschrieben, nimmst dann aber unabhängige t und s?

richtig war -6x1-3x2=0  x2=t folgt x1=-2t also EV t*(-2,1,0)

ebenso weiter.

Gruß lul

Comments

Danke dir schonmal für deine Antwort.

Aber woher weiß ich, welches x ich als unabhängig wähle und wann ich s und t wähle und wann nur t?

Außerdem bekomme ich für X1 =-0.5t raus..

Ich rechne:

-6X1 -3x2=0

-6x1 -3t =0 |+3t

-6x1 = 3t | :(-6)

X1= -0.5 t

Answer 2

Deine Lösungen der Gleichungsysteme gehen nicht auf. Im ersten Schritt λ=-1 hast du bereits x3=0 bestimmt. Damit kannst du in den beiden anderen Gleichungen jeweils die dritte Spalte auch zu null machen. Dann bleibt nur die Aussage 2x1+x2=0 übrig. ===> v=(1/2,1,0).

Im Falle λ=2 ähnlich im ersten Schritt steht die Aussage x2=0. Damit wird auch in den anderen Gleichungen die 2. Spalte=0 und übrig bleibt 2x1-x3=0 ===> u=(2,0,1)

Dim Eigenraum zum doppelten EW 2 = 1 ===> nicht diagonalisierbar

Comments

Für X1 habe ich in beiden Fällen einen Negativen Wert heraus, was mache ich da falsch? :/

---

Und ich verstehe nicht ganz, wieso ist es nicht diagonalisierbar?

---

Ich verstehe den Vorzeichenfehler nun, ich verstehe nun nur nicht , warum nicht diagonalisierbar.. :/

---

So wie ich das sehe hast Du die Abhängigkeiten des lgs ignoriert

2x1+x2=0, x3=0

2x1-x3=0, x2=0

Jeweils eine Variable hängt von einer anderen ab. Es bleiben jeweils 2 Gleichungen übrig.

===> Dim Eigenraum = 1

---

Oh Gott, langsam bekomme ich Panik :D

Wie würde das denn aussehen, wenn es diagonalisierbar wäre?

Und wie packe ich das in einen Lösungssatz um? Verstehe das nicht wirklich mit der Abhängigkeit und der Diagonalisierbarkeit.. :/

---

Ich hab jetzt verstanden, dass wenn die letzte Zeile überall Null ist, sind alle Linear unabhängig. Aber bei meiner Aufgabe sind die Zeilen Null. Was verstehe ich falsch. Ich bitte um Hilfe.

---

Nein, das kann man so nicht sagen.

Wenn Du ein LGS mit Gauß auf Treppenstufenform bringst, dann fallen ggf. linear abhängige Gleichungen raus - es entstehen 0 Zeilen oder Spalten. In diesen Fällen fällt eine Gleichung raus, d.h. es gibt eine unabhängige Variable. Im Fall λ=-2 (doppelter EW algebraische Vielfachheit=2) müssten 2 Gleichungen raus fallen, damit 2 unabhängige Variablen entstehen und 2 Eigenvektoren gebildet werden können...

algebraische Vielfachheit = Geometrische Vielfachheit ===> diagonalisierbar