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hallo erstmal!

F(x) = 1/15 x ^4 - 1/15 x ^3 - 16/15 x ^2 + 14/15 x + 37/15


Kann mir Jette jemand helfen die nullstellen dieser Gleichung zu errechnen.


eure annika !!

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Hallo Anni,

F(x) = 1/15 x4 - 1/15 x3 - 16/15 x2 + 14/15 x + 37/15 = 0   | * 15

⇔  x4 - x3 - 16·x2 + 14·x + 37  =  0

[ Die Rechnerlösungen sind

    x1 = -3,66094636  ;  x2 = - 1,22331011 ; x3 = 2,314136625  ;  x4 = 3,57011985 ]  

Die Gleichung hat also keine Lösungen, die man durch Probieren finden kann (ganzzahlig kämen nur die Teiler ±1 und ±37 des konstanten Summanden 37 infrage. 

Man benutzt dann meist ein Näherungsverfahren, z. B. das

Newtonverfahren:

 Berechnen der Nullstellen von f(x)  (f muss differenzierbar sein) 

hier:  f(x) = x4 - x3 - 16·x2 + 14·x + 37  

         f '(x) = 4·x3 - 3·x2 - 32·x + 14

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man - auch mit einem einfachen Taschenrechner -  immer bessere Werte mit der Formel

xneu =  xalt - f(xalt) / f ' (xalt)

Du weißt allerdings i.A. nicht, ob du alle NS gefunden hast.

Manchmal konvergiert das Verfahren nicht (wenn du für xalt zum Beispiel eine  Extremstelle erwischt). Dann hilft oft ein anderer Startwert.

Je besser der Startwert, desto weniger Rechnung:

mit Startwert 1 ergibt sich z.B.

xf(x)f '(x)
13515
-1,333333333-4,58024691441,85185185
-1,223893805-0,02412736841,33769295
-1,22331014-1,13927E-0641,33378708
-1,223310113041,3337869


mit Startwert 2:

xf(x)f '(x)
2934
1,73529411816,95639046-29,66156116
2,3069562210,191089873-26,67782229
2,3141190950,000465373-26,54745916
2,3141366252,82363E-09-26,547137
2,3141366250-26,547137


Wenn ein Plotterbild zur Verfügung steht, findet man natürlich leicht gute Startwerte:


Bild Mathematik 
Aber auch "schlechte" Startwerte liefern Ergebnisse, z.B.:

xf(x)f '(x)
100988414373970014
75,1030003931302022,11675151,401
56,416915029900983,948706930,4953
42,411317563130958,286298404,9945
31,91900562989663,0269126015,3811
24,06549585312582,572253256,40373
18,1961064498595,550422537,22859
13,8213205131025,80539559,717694
10,575847559722,6902594071,600136
8,1879189863024,6560681746,598966
6,456178542928,7718911758,7875319
5,232157519278,4263491337,3756756
4,40688655579,54304039157,0560727
3,90042386920,2993795680,89989014
3,6495041273,77623732951,68846241
3,5764464820,27742128144,16567491
3,5701651050,00197013943,53890413
3,5701198551,01898E-0743,53440038
3,570119852043,53440014


Gruß Wolfgang


Avatar von 86 k 🚀

Wow super vielen Dank für die umfassende super gut beschriebene und vorallem schnelle Rückmeldung!

Hat mir sehr geholfen!

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