Vektoren - Ist das Viereck ABCD ein Trapez

Question

Aufgabe: Prüfe, ob das Viereck ABCD ein Trapez ist.

A(4;0;0)  B(4;3;1) C(0;3;4) D(4;0;4)

Mein bisheriges Vorgehen: AB=(0;3;1) BC=(-4;0;3) CD=(4;-3;0) AD=(0;0;4)

Ich prüfe nun ersteinmal auf Komplanarität,also liegen diese Vektoren in einer Ebene, und dann prüfe ich ob es ein Paar kolineare seiten gibt.

Das Problem liegt hier, dass ich nicht weiß wie ich dieses Gleichungssystem löse(4Variablen und nur 3Gleichungen)

r1*AB+r2*BC+r3*CD+r4*AD=0

I:    -4*r2+4*r3=0
II:   3*r1+(-3)*r3=0
III:  r1+3*r2+4*r4

Hoffe es ist bis hierher alles richtig. :/

Meine Frage ist nun wie löse ich dieses System und wenn ich es gelöst habe, wie lautet das Ergebnis(zum abgleichen)

Bedanke mich schon einmal im Voraus

Lg

Answer 1

A(4;0;0)  B(4;3;1) C(0;3;4) D(4;0;4)

AB = [0, 3, 1]
BC = [-4, 0, 3]
CD = [4, -3, 0]
DA = [0, 0, -4]

Das Viereck ist kein Trapez. Dazu sollten 2 gegenüberliegende Seiten parallel sein.

Comments

Ja mir geht es ja hauptsächlich um die Rechnung  :

r1*AB+r2*BC+r3*CD+r4*AD=0

I:    -4*r2+4*r3=0
II:   3*r1+(-3)*r3=0
III:  r1+3*r2+4*r4

Bei dieser Aufgabe könnte ich sie vernachläßigen, aber es währe trotzdem schön zu wissen wie ich sie berechne.

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AB = [0, 3, 1] 
BC = [-4, 0, 3] 
CD = [4, -3, 0] 
DA = [0, 0, -4]

Es sollte gelten

a·[0, 3, 1] + b·[-4, 0, 3] = [4, -3, 0] 

-4b = 4 --> b = -1

3a = -3 --> a = -1

a + 3b = 0 --> falsch. Damit sind die Vektoren nicht abhängig und CD liegt nicht in der Ebene von AB und BC.

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Ich bin zwar nicht total mathematisch Unbegabt, aber diese Rechnung habe ich jetzt nicht verstaden.
Währe es möglich  diese Rechnung mit Zwischenschritten anzugeben?
Und was passiert mit DA ?
Trotzdem erstmal danke für die Mühe

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DA ist erstmal unwichtig. Wenn AB, BC und CD in einer Ebene liegen, dann ist DA auch in dieser Ebene. Ich brauche also nur zeigen das AB, BC und CD in einer Ebene liegen. Dazu schaue ich ob ich einen Vektor durch linearkombination der anderen darstellen kann.

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OK verstanden :)  aber warum liegt DA auch in der Ebene ? der könnte doch auch in einer anderen liegen oder?

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4 Punkte in eine Ebene. Also AB, BC und CD in eine Ebene. Warum muss dann auch AD in dieser Ebene liegen?

Es gilt AD = AB + BC + CD

AD ist also in allen Fällen eine Linearkombination der anderen 3 Vektoren.

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Ach sooo  danke schön :)