Die Ableitung lautet: f'(x) = 4x^3 -12x^2 -40 x
f'(x) = 0 0= 4x^3 -12x^2 -40 x = x( 4x^2 -12x -40) x1 =0 x2/3 = (12±√(144+640)) : 8
x2= 5 x3= -2 (Man hätte vorher noch durch 4 kürzen können, dann hätte man kleinere Zahlen gehabt)
Um die Monotoniebereiche zu bestimmen nimmst du jetzt einen x Wert links von der ersten Nullstelle der Ableitung (!), z.B. -3 und berechnest die Ableitung von f in diesem Punkt bzw. es reicht wenn du weißt, ob der Wert positiv oder negativ ist ( hier ist etwas Kopfrechnen gefragt ;) ) :
f'(-3) = -180 <0
Für x < -2 ist f(x) streng monoton fallend. Dann die Werte zwischen den Nullstellen:
f( -1) = 24 >0
für -2<x<0 ist f(x) streng monoton wachsend.
f( 1) = -48
Für 0<x<5 ist f(x) streng monoton fallend Und zuletzt noch rechts von der letzten Nullstelle:
f(6) = 192
Für x> 5 ist f(x) streng monoton wachsend.
Alternativ kannst du übrigens auch mit der zweiten Ableitung arbeiten. LG