Entscheiden Sie (Beweis oder Gegenbeispiel), welche Aussagen richtig sind. Verknüpfung surjektiv –> g surjektiv.

Question

Aufgabe:

Seien \( X, Y \) und \( Z \) Mengen und \( f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z \) Abbildungen.

Entscheiden Sie (Beweis oder Gegenbeispiel), welche der folgenden Aussagen richtig sind:

(a) Wenn \( g \circ f \) surjektiv ist, dann ist \( g \) surjektiv.
(b) Wenn \( g \circ f \) surjektiv ist, dann ist \( f \) surjektiv.
(c) Wenn \( g \circ f \) injektiv ist, dann ist \( g \) injektiv.
(d) Wenn \( g \circ f \) injektiv ist, dann ist \( f \) injektiv.

Comments

Ich kann schon helfen, aber hast du denn bisher gar nichts? Am einfachsten ist, du malst die die Mengen mal als Kreise hin, dann die Funktionen f,g und f °g als Pfeile zwischen den Mengen und dann überlegst du was jetzt genau injektiv und surjektiv bedeutet. Und wenn es dann noch Fragen gibt helfe ich gerne.

Answer 1

Hi,

ich glaube, diese Aussagen entstammen der Kategorientheorie (ne?).

a) und d) sind richtig.

g * f ist surjektiv heißt, dass g * f auf ganz Z abbildet, eine Eigenschaft, die die Verknüpfung von g haben muss,

g * f ist injektiv heißt, dass für g * f jeder Bildpunkt in Z maximal einen Urbildpunkt in X hat. Das heißt, jeder Bildpunkt in Y hat schon maximal einen Urbildpunkt in X. Diese Eigenschaft also "erbt" die Verknüpfung von f.

MfG

Mister