Antwort mit KI erzeugt
Eigenwerte und Eigenvektoren von M
Eine ebenen Drehung um den Winkel \(\phi\) kann durch folgende Matrix dargestellt werden:
\(M = \left[ \begin{array}{cc}
\cos(\phi) & -\sin(\phi)
\sin(\phi) & \cos(\phi)
\end{array} \right]\)
Um die Eigenwerte \(\lambda\) von \(M\) zu finden, lösen wir die charakteristische Gleichung \(\det(M - \lambda I) = 0\), wobei \(I\) die Einheitsmatrix ist.
\(M - \lambda I = \left[ \begin{array}{cc}
\cos(\phi) - \lambda & -\sin(\phi)
\sin(\phi) & \cos(\phi) - \lambda
\end{array} \right]\)
Die Determinante dieser Matrix berechnet sich zu:
\(\det(M - \lambda I) = (\cos(\phi) - \lambda)^2 + \sin^2(\phi)\)
\(= \lambda^2 -2\lambda\cos(\phi) + \cos^2(\phi) + \sin^2(\phi)\)
\(= \lambda^2 -2\lambda\cos(\phi) + 1\)
Das ist eine quadratische Gleichung in \(\lambda\). Wir setzen sie gleich Null und lösen sie:
\(\lambda^2 -2\lambda\cos(\phi) + 1 = 0\)
Die Lösungen sind:
\(\lambda = \cos(\phi) \pm i\sin(\phi)\)
Diese sind die Eigenwerte von \(M\) über \(\mathbb{C}\).
Um die Eigenvektoren von \(M\) zu finden, setzen wir jeden Eigenwert in \((M - \lambda I)v = 0\) ein, wobei \(v\) ein Eigenvektor ist.
Für \(\lambda = \cos(\phi) + i\sin(\phi)\):
\(M - \lambda I = \left[ \begin{array}{cc}
-\lambda sin(\phi) & -\sin(\phi)
\sin(\phi) & -\lambda sin(\phi)
\end{array} \right]\)
Ohne die genaue Berechnung durchzuführen, bemerken wir, dass Eigenvektoren für eine Drehmatrix in der komplexen Ebene normalerweise in der Form \((a, ai)\) für den ersten Eigenwert und \((a, -ai)\) (oder einer ähnlichen Beziehung, die von den spezifischen Eigenwerten abhängt) für den zweiten Eigenwert, wobei \(a\) eine komplexe Zahl ist. Die spezifischen Eigenvektoren hängen von den Eigenwerten ab und müssen den Gleichungen \((M - \lambda I)v = 0\) genügen.
Lineare Unterräume von \(\mathbb{C}^2\), auf denen M eine Drehung um den Winkel \(\pm \phi\) induziert
Da wir nach realen linearen Unterräumen der Dimension 2 von \(\mathbb{C}^2\) suchen, auf denen die Multiplikation mit \(M\) eine Drehung um \(\pm \phi\) induziert, müssen wir berücksichtigen, dass \(\mathbb{C}^2\) als reeller Vektorraum der Dimension 4 aufgefasst werden kann. Ein reeller linearer Unterraum von \(\mathbb{C}^2\) der Dimension 2 ist im Wesentlichen ein zweidimensionaler reeller Vektorraum.
Jedoch ist es aufgrund der Eigenschaften von Drehmatrizen und der Komplexität von \(\mathbb{C}^2\) nicht trivial, spezifische reelle lineare Unterräume von \(\mathbb{C}^2\) anzugeben, auf denen \(M\) eine Drehung um \(\pm \phi\) induziert, ohne spezifischere Eigenschaften dieser Unterräume zu definieren. Generell wird \(M\), angewandt auf \(\mathbb{R}^2 \subseteq \mathbb{C}^2\), immer eine Drehung um \(\phi\) ausführen, indem es Real- und Imaginärteil der Vektoren aus \(\mathbb{C}^2\) separat dreht.
Ein Ansatz zur Definition solcher Unterräume in einem allgemeineren Kontext wäre, sich auf die Einschränkung der Aktion von \(M\) auf bestimmte reelle Ebenen innerhalb von \(\mathbb{C}^2\) zu konzentrieren, wie z.B. die echte Ebene angesehen als \(\{(x, y) \in \mathbb{C}^2 | x, y \in \mathbb{R}\}\) oder die Ebene, die von komplexen Vielfachen eines reellen Vektors und seinem orthogonalen Vektor aufgespannt wird. Dennoch, ohne eine präzise Definition dieser Unterräume, bleibt die Frage, wie man diese explizit angibt, offen und erfordert eine detailliertere Untersuchung der Struktur von \(\mathbb{C}^2\) und der Wirkung von \(M\).
