Bestimme alle φ-invarianten Unterräume von ℝ^{2} für φ= φ_{A}:

Question

Aufgabe:

Bestimme alle \( \varphi \)-invarianten Unterräume von \( \mathbb{R}^{2} \) für \( \varphi=\varphi_{A} \) mit
\( A=\left(\begin{array}{ll} 2 & -5 \\ 1 & -2 \end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Ein Unterraum \( U \subseteq V \) heisst \( \varphi \)-invariant, falls \( \varphi(U) \subseteq U \).

So ganz bin ich mir noch nicht sicher, ob ich die Thematik richtig verstehe!

Als erstes hätte ich jetzt mal die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnet:
Das charakteristische Polynom lautet \( λ^{2} \)+1, woraus sich die beiden Eigenwerte λ₁= i und λ₂=
-i ergeben. Schlussendlich erhalte ich damit dann die beiden Eigenvektoren v₁=\( \begin{pmatrix} 2+i\\1 \end{pmatrix} \) und v₂=\( \begin{pmatrix} 2-i\\1 \end{pmatrix} \).

Somit habe ich dann zwei invariante Unterräume???

Danke für Hilfe und Erklärung im Voraus!

Answer 1

Du musst hier darauf achten, dass die Unterräume in \(\mathbb R^2\) liegen müssen.

Wir haben die trivialen Unterräume \(\{(0,0)\}\) und \(\mathbb R^2\).

Weiterhin ist \(A\) invertierbar.

Wenn es einen 1-dimensionalen invarianten Unterraum gäbe, müsste dieser von einem reellen Eigenvektor aufgespannt sein. Den gibt es aber nicht. Also gibt es keinen 1-dimensionalen invarianten Unterraum.

Comments

@trancelocation: Danke für deine Erklärung.

Habe ich das jetzt so richtig verstanden:

Da es keine reellen Eigenvektoren gibt, die eine Basis für \( \mathbb{R}^{2} \) bilden könnten, gibt es keinen 1-dimensionalen invarianten Unterraum in \( \mathbb{R}^{2} \) für \( \varphi=\varphi_{A} \). Somit sind die einzigen invarianten Unterräume von \( \mathbb{R}^{2} \) für \( \varphi=\varphi_{A} \) der Nullraum \( \{(0,0)\} \) und der gesamte Raum \( \mathbb{R}^{2} \)???

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@Euler07
Genau so ist das.