Zeigen Sie die folgenden Aussagen zu Orthogonalität von Eigenwerten und invarianten Unterräumen

Question

Text erkannt:

Betrachten Sie den unitären Vektorraum \( \mathbb{C}^{n} \) mit dem kanonischen Skalarprodukt \( \langle\cdot, \cdot\rangle= \) \( \bar{x}^{T} y=x^{H} y \). Sei \( Q \in \operatorname{GL}(n, \mathbb{C}) \) unitär. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

Sind \( x, y \in \mathbb{C}^{n} \) Eigenvektoren von \( Q \) zu verschiedenen Eigenwerten \( \lambda \neq \mu \) von \( Q \), so gilt \( \langle x, y\rangle=0 \) (d.h. \( x \) und \( y \) sind orthogonal).

Gilt \( Q x=\lambda x \) für einen Eigenwert \( \lambda \in \mathbb{C} \) und einen Eigenvektor \( x \in \mathbb{C}^{n} \) von \( Q \), so folgt \( Q^{H} x=\bar{\lambda} x \).
Hinweis: Sie dürfen verwenden, dass \( |\lambda|=1 \) für jeden Eigenwert \( \lambda \) von \( Q \) gilt, da
\( \|x\|=\|U x\|=\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\| . \)

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe leider überhaupt keine Idee für die ganze Aufgabe, zumal ich derzeit eine echt fiese Grippe habe. Ich möchte diese Aufgabe aber unbedingt schaffen!!! Hat jemand vielleicht ein paar Hinweise, ggf. Lösungswege für mich?

Answer 1

Mir erscheint es günstiger, erst einmal die zweite Aussage zu zeigen und dies dann bei der ersten Aussage zu benutzen.

Da \(Q\) unitär ist, gilt \(Q^HQ = QQ^H = I\), wobei \(I\) die Einheitsmatrix ist.

Sei \(x\) ein Eigenvektor zu Eigenwert \(\lambda\). Dann gilt

$$Qx=\lambda x\Rightarrow Q^HQ x = x = \lambda Q^H x\Rightarrow Q^Hx = \frac 1\lambda x$$

Nun ist aber

\(1 = |\lambda |^2 = \lambda \overline{\lambda}\Rightarrow \frac 1\lambda = \overline{\lambda}\)

Daher $$ Q^Hx = \overline{\lambda} x$$

Seien nun \(\lambda \neq \mu\) Eigenwerte mit den Eigenvektoren \(x\) bzw. \(y\). Dann gilt

$$\lambda \langle x,y\rangle = \langle \overline{\lambda}x,y\rangle = \langle Q^Hx,y\rangle= \langle x,Qy\rangle = \langle x,\mu y\rangle = \mu\langle x,y\rangle$$

Also

\((\lambda - \mu)\langle x,y\rangle = 0 \stackrel{\lambda \neq \mu}{\Rightarrow}\langle x,y\rangle = 0\)