f ∈ End(V) , Beweisen Sie dass einen invarianten Unterraum W von V gibt mit W≠V ,W≠0 . V ist ℝ - VR dim(V) = 2n+1 ,n∈ℕ

Question

Ich vermute dass das nicht der richtige Beweis für die Aufagbe ist. Komme im unteren teil nicht weiter. Gibt es noch einen anderen Weg? denn es muss ja zB auch erläutert werden dass für dim(V) = 2 nicht zwingend einen f-invarianten Unterraum gibt

$$Sei\quad Kern(f)\quad \neq \quad 0\quad \wedge \quad Kern(f)\quad \neq \quad V\quad \\ und\quad dim(V)\quad =\quad k\quad =\quad 2n+1\quad ist\quad also\quad dim(Kern(f)\quad \in \quad \left\{ 1,\quad ,,,\quad ,\quad k-1 \right\} \\ \\ Da\quad Endomorphismen\quad lineare\quad Abbildungen\quad sind,\\ gilt\quad dim(Kern(f))\quad +\quad dim(Bild(f))\quad =\quad V\\ und\quad dann\quad ist\quad auch\quad Bild(f)\quad \neq \quad 0\quad \wedge \quad Bild(f)\quad \neq \quad V\quad \\ \\ Kern(f)\quad und\quad Bild(f)\quad sind\quad f-invariante\quad Unterräume\quad von\quad V.\\ Da\quad Kern(f),Bild(f)\quad \neq \quad 0\quad \neq \quad V,\quad gilt\quad die\quad Aussage\quad hier.\\ \\ Sei\quad Kern(f)\quad =\quad V.\\ Dann\quad ist\quad f\quad Nullabbildung.\quad \\ Sei\quad W\quad dieser\quad f-invariante\quad Unterraum\quad mit\quad w\quad \in \quad W.\\ Da\quad End\quad linear\quad ist,\quad ist\quad f(w)\quad =\quad 0\quad \in \quad W\quad denn\quad 0\quad ist\quad in\quad jedem\quad Untervektorraum\quad enthalten.\\ \\ Sei\quad Bild(f)\quad =\quad V.\quad Der\quad Kern\quad besteht\quad also\quad nur\quad aus\quad dem\quad Nullvektor\quad wegen\quad f\quad \in \quad End(V).\\ Also\quad ist\quad f\quad bijektiv. \\ [ ??? ]$$

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die Frage ist aus Lineare Algebra

Answer 1

Ganz anderer Ansatz ist vielleicht:

Das char. Polynom von f hat Grad 2n+1 , also mindestens eine reelle Nullstelle

und damit mindestens einen Eigenwert e und dazu einen Eigenraum E.

Für alle v ∈ E gilt   f(v) = e*v  ∈ E , also ist E f-invariant.

Weil E ein Eigenraum ist, ist E ≠ {0}.  Und wäre E = V dann ,,,,, ?

Irgendwie müsste man jetzt schließen, dass dies der ungeraden

Dimension widerspricht, aber da fällt mir grad nix zu ein.

Comments

Es koennte E = V sein, aber keiner sagt, dass Du für W den ganzen Eigenraum E nehmen musst.

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ich habe es mal erweitert aber ich weiß nicht ob es richtig ist... :

$$Das\quad charakteristische\quad Polynom\quad von\quad f\quad hat\quad Grad\quad 2n+1.\\ Es\quad hat\quad mind.\quad eine\quad reelle\quad Nullstelle,\quad also\quad mind\quad einen\quad Eigenwert\quad \lambda \\ und\quad einen\quad Eigenraum\quad W.\\ Eigenräume\quad sind\quad f-invariante\quad Unterräume\quad denn\quad es\quad gilt\\ f(w)\quad =\quad \lambda w\quad für\quad alle\quad w\quad \in \quad W.\quad \\ dim(E(\lambda ))\quad ist\quad kleiner\quad gleich\quad der\quad algebraischen\quad Vielfachheit\quad des\\ Eigenwertes.\quad Angenommen\quad dim(E(\lambda ))\quad =\quad dim(V)\quad =\quad 2n\quad +\quad 1.\\ Dann\quad ist\quad { \chi  }_{ A }\quad =\quad { (T\quad -\quad \lambda ) }^{ 2n\quad +\quad 1 }\quad denn\quad die\quad Summe\quad der\quad Vielfachheiten\quad aller\quad Eigenwerte\quad \\ ist\quad 2n\quad +\quad 1.\\ Angenommen\quad { \chi  }_{ f }\quad =\quad { (T\quad -\quad \lambda ) }^{ 2n }.\quad Das\quad ist\quad unmöglich,\quad denn\quad dann\\ wäre\quad { \chi  }_{ f }\quad =\quad { (T\quad -\quad \lambda ) }{ ^{ n }{ (T\quad -\quad \lambda ) }^{ n } }.\quad Also\quad ist\quad { \chi  }_{ f }\quad =\quad { (T\quad -\quad \lambda ) }^{ n }\\ und\quad dim(E(\lambda ))\quad =\quad dim(Kern((f\quad -\quad \lambda { id }_{ v })^{ n })\quad <\quad dim(V(\lambda ))\quad =\quad dim(Kern((f\quad -\quad \lambda { id }_{ v })^{ 2n }),\quad \\ Da\quad aber\quad dim(E(\lambda ))\quad =\quad dim(V)\quad <\quad dim(V(\lambda ))\quad gelten\quad sollte,\\ ein\quad Widerspruch,\quad denn\quad es\quad gilt\quad dim(V)\quad =\quad dim(V(\lambda )).$$

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oh ich glaube dass ich das mnimalpolynom verwechselt habe mit dem charakt. polynom ?

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Wo willst Du eigentlich hin?

Im Beispiel dim(V) = 3, f = id: Was nimmst Du für ∅ ≠ W ≠ V?

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f = id sind dann nicht 3 x eindimensionale invariante unterräume möglich ?

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Wieso nur drei? Alles ist id-invariant.

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ja natürlich auch einen zweidimensionalen UR + eindimensionalen UR

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bezieht sich die frage auf meinen kommentar oder das was oben steht? oder ist das ein anderer hinweis? weiß jetzt nicht was ich machen soll

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Der ℝ³ hat sehr viele (echte) Unterraeume, nicht nur drei. Jede Gerade/Ebene durch dem Ursprung versinnbildlicht einen und taugt als ein W im Sinne der Aufgabe für f = id.

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ich meine nicht nur drei, ich meine alle möglichen die ein oder zweidimensional sind. und die bedingungen für einen ur erfüllen

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und wenn f nicht id ist?

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ok ich habe es auch verstanden dass es in dem beweis oben nicht mehr weiter geht

W = E und wenn E = V dann hat W Dimension 2n+1 und da kann ich W ja noch um 1 dimension verkleinern und W ist ungleich Null und ungleich V?

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ich übe nur grad viel und versuche mir alles zu merken und dann alles mal zusammengeklatscht fällt mir dann auch auf das ich die hälfte wieder entfernen kann.

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bzw. 3/4 davon

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f hat einen Eigenwert, siehe Antwort von mathef. Nennen wir einen Eigenvektor dazu v. Was faellt Dir dann zum Spann von v ein?

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der eigenraum zu diesem eigenwert wird von v aufgespannt??

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Warum sollte er? Kein Mensch sagt, dass der fragliche Eigenraum eindimensional ist. Die ganze Aufgabe geht komplett ohne den Begriff Eigenraum. Nochmal: Was kannst Du ueber den Spann von v (ein Eigenvektor) sagen? Denkvorschlaege: Ist der Spann von v ein Unterraum von V? Kann es der Nullraum oder ganz V sein? Ist der Spann von v womoeglich f-invariant? Was ergibt sich daraus als Antwort auf die Aufgabe? Was kann man als W nehmen?

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also einen eigenwert gibt es da ein polynom vom grad 2n+1 irgendwo die stelle y=0 überquert. ja der spann von v ist ein unterraum von V der nullraum ist es nicht denn v ≠ 0 , ein eigenvektor kann nicht ganz V aufspannen, ja er ist f invariant weil
für einen eigenvektor gilt f(v) = λ v ∈ ⟨v⟩    , ?

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für W einen eigenvektor?

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ich meinte den spann von nur einem eigenvektor

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also falls es noch weitere geben sollte das muss ja nicht der fall

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es gibt einen eigenwert λ : f(v) = λv v ≠ 0 , und v ist der eigenvektor dazu

⟨v⟩ = W denn für alle v ∈ ⟨v⟩ ist f(v) = λv ∈ ⟨v⟩

⟨v⟩ ≠ 0 ≠ V , denn dim(⟨v⟩) = 1 < 2n+1  ??

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??

Wenn Du nicht selber ueberzeugt bist, kannst Du es nicht als Beweis verkaufen -- selbst wenn's stimmt. :)

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ich würde noch sagen dass jedes polynom vom grad 2n+1 nach dem zwischenwertsatz mindestens eine nullstelle besitzt. also auch das charakteristische polynom von f. wenn das charakteristische polynom von f eine nullstelle hat gibt es einen eigenwert und dazu einen eigenvektor

ich habe noch eine frage die kommt sicher morgen denn wenn ich mir bis dahin nicht sicher bin , kann ich niemand sonst fragen weil es ein fernstudium ist und ich den chat nicht nutzen will dann sehe ich ja was ich machen muss wenn andere fragen zu diesen aufgaben stellen und das wäre dann bestimmt zu einfach