φ-invarianten Unterräume

Question

Aufgabe:

A=M(φ) =[2  0  1

             −1  1  3

               2  0  3].Bestimmen Sie alleφ-invarianten Unterräume des R^3, indem Sie jeweils eine Basis angeben

Problem/Ansatz:

Answer 1

A=M(φ) =[2  0  1

             −1  1  3

               2  0  3].

φ-invarianter Unterraum U von R^3 ist einer, für den f(U)⊆U gilt.

Also ist schon mal der 0-Raum eine Möglichkeit.

Wenn es einen 1-dimensionalen gibt, dann muss es einer sein,

der ein Eigenvektor als Basis hat.

Eigenwerte sind 4 und 1.

Dazu musst du Eigenvektoren bestimmen.

zu 4 ist das z.B. v=(3;5;6)^T  und zu 1 etwa w=(0;1;0)^T

Damit sind span(v) und span(w) die einzigen eindimensionalen

φ-invarianten Unterräume.

Und R^3 selbst natürlich auch.  Bei den 2-dimensionalen

natürlich auch span(v,w) , aber ob es da noch andere gibt, da

bin ich mir nicht sicher.