Wie berechne ich den Grenzwert von den drei Aufgaben? Bsp: lim x→3 (3-x) / (2x^2-6x)

Question

WIe berechne ich den grenzwert von den drei? Hilfe

lim x→3       (3-x) / (2x²-6x)

lim x→2      (x⁴-16) / (x-2)

lim x→3      (3x²-27) / (x-3)

Answer 1

Versuche mal (x-2) resp. (x-3) auszuklammern.

Ziel wäre: Kürzen können. 

    (3-x) / (2x²-6x) = (3-x)/(2x(x-3) 

= -1/(2x)     , wobei x≠3

   (x⁴-16) / (x-2) = (x^2 -4)(x^2+4)/(x-2) 

= (x-2)(x+2)(x^2 + 4)/(x-2)

= (x+2)(x^2 + 4), wobei x≠2

 (3x²-27) / (x-3) = 3(x^2 -9)/(x-3) = 3(x-3)(x+3)/(x-3) 

= 3(x+3) , wobei x≠3.

Bei allen 3 Resultaten kannst du aber problemlos 2 oder 3 einsetzen. Dadurch ist dann der fragliche Grenzwert bestimmt.

lim x→3       (3-x) / (2x²-6x) = lim x-->3  (-1/(2x)) = - 1/6

lim x→2      (x⁴-16) / (x-2) = lim x-> 2    (x+2)(x^2 + 4) = 4*8 = 32

lim x→3      (3x²-27) / (x-3) = lim x->3    3(x+3) =  3*6 = 18

Answer 2

lim x→3       (3-x) / (2x²-6x)  

     (3-x) / (2x²-6x)  =         (3-x) / 2x(x-3)  =  1 / 2x   also GW 1/6

lim x→2      (x⁴-16) / (x-2)

   (x⁴-16) / (x-2) = (x-2)(x+2) / (x-2) =  x+2  also GW=4

lim x→3      (3x²-27) / (x-3)

  (3x²-27) / (x-3) = 3*(x^2-9) /( x-3)   =   3 * (x-3 ) ( x+3)  /  ( x-3)  =  3(x+3) also GW= 18

Answer 3

Bestimme vom Zähler und Nenner die Nullstellen und mache damit eine Faktorzerlegung. Schau dann ob man kürzen kann um so eine stetige Ergänzung zu machen. Dann lässt sich der Wert für x einsetzen an der der Grenzwert bestimmt werden soll.

lim (x --> 3) (3 - x)/(2·x^2 - 6·x)
lim (x --> 3) (3 - x)/(2·x·(x - 3))
lim (x --> 3) -1/(2·x) = -1/6

lim (x --> 2) (x^4 - 16)/(x - 2)
lim (x --> 2) ((x + 2)·(x - 2)·(x^2 + 4))/(x - 2)
lim (x --> 2) (x + 2)·(x^2 + 4) = 32

lim (x --> 3) (3·x^2 - 27)/(x - 3)
lim (x --> 3) (3·(x + 3)·(x - 3))/(x - 3)
lim (x --> 3) 3·(x + 3) = 18