Polynom x^2 + bx + c ohne reelle Nullstellen. Zeigen Sie, dass dann die Funktion gilt. G'(x) = 1/(x^2 + bx 1 c)^f

Question

Aufgabe:

Das Polynom \( x^{2}+b x+c \) besitze keine reellen Nullstellen und für \( f \geq 2 \) sei \( F(x) \) eine Funktion mit

\( F^{\prime}(x)=\frac{1}{\left(x^{2}+b x+c\right)^{f-1}} \)

Zeigen Sie, dass dann für die Funktion

\( G(x)=\frac{2 x+b}{(f-1)\left(4 c-b^{2}\right)\left(x^{2}+b x+c\right)^{f-1}}+\frac{2(2 f-3)}{(f-1)\left(4 c-b^{2}\right)} F(x) \)

gilt

\( G^{\prime}(x)=\frac{1}{\left(x^{2}+b x+c\right)^{f}} \)

Answer 1

Hi,
die Funktion \( G(x) \) kann man schreiben als
$$ G(x) = \frac{1}{(f-1) (4c - b^2)} \left[ (2x + b) F'(x) + 2(2f-3) F(x) \right]  $$ also gilt
$$ G'(x) = \frac{1}{(f-1) (4c - b^2)} \left[ (2x+b) F''(x) +4F'(x)(f-1)  \right]  $$
es gilt
$$ F''(x) = -\frac{(f-1)(2x+b)}{x^2+bx+c} F'(x) $$
also gilt
$$ G'(x) = \frac{(f-1)}{(f-1) (4c - b^2)} F'(x) \left[ -\frac{(2x+b)^2}{x^2+bx+c}+4  \right] = \frac{1}{(x^2+bx+c)^f}  $$
Die Bedingung \( f \ge 2 \) ist nötig, falls \( f \in \mathbb{N} \) damit \( f-1 \ne 0 \) gilt. Außerdem muss \( 4c - b^2 \ne 0 \) gelten, was gilt, wenn das Polynom \( x^2+bx+c \) zwei verschiedene reelle Nullsten hat bzw. keine reellen.