Hier eine Idee, leider nicht ganz zu Ende gedacht:
Die Galoisgruppe operiert transitiv auf der Menge der Nullstellen
von \(f\). Hätte \(f\) mindestens zwei reelle Nullstellen, etwa \(a\) und \(b\),
so gäbe es ein \(\sigma\in Gal(f)\) mit \(\sigma(a)=b\).
Da \(Gal(f)\cong D_n\) ist, hat \(\sigma\) entweder die Ordnung 2
oder eine ungerade Ordnung, da \(n\) ungerade ist.
Hieraus müsste man einen Widerspruch basteln können ...
Vielleicht kann man bei ord(\(\sigma\))=2 mit \(\sigma(ab)=ab\) etwas anfangen?
Noch eine Bemerkung: die Anzahl der reellen Nullstellen ist ungerade,
da \(n\) ungerade ist und die nichtreellen Nullstellen als komplex-konjugierte
Paare aufttreten, die Anzahl der nichtreellen Nullstellen also
gerade ist.