Wahrscheinlichkeit: Polynom hat keine reelle Nullstelle

Question

ich sitze vor einer Aufgabe und weiß nicht, wie ich diese angehen soll.
Die Aufgabe:
Die Zufallsvariablen X, Y und Z sind unabhängig und gleichverteilt auf dem Intervall [-1, 1]
Man soll die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das Polynom

$$X \cdot x^2 + Y \cdot x + Z$$

keine reelle Nullstelle hat.

Als Tipp ist gegeben:
Man soll zuerst 2 Werte a und b finden, sodass
$$P(a \cdot Y^2 + b \cdot X \cdot Z < 0)$$
der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass das Polynom keine Nullstelle hat.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen ...

Comments

Ich habe mittlerweile doch eine Lösung für den Tipp gefunden:
Die Determinante der Polynoms ist:
$$\Delta = Y^2-4XZ$$
Damit die Gleichung reelle Nullstellen hat muss gelten 
$$\Delta \geq 0$$$$Y^2-4XZ\geq 0$$
umgeformt ergibt sich
$$-Y^2+4XZ < 0$$
und damit:
$$a = -1 \text{ und } b = 4$$
dann bleibt nur noch über wie man die Wahrscheinlichkeit explizit berechnet (da würde ich mich über einen Tipp freuen).

---

-1 <= x, y, z <= 1

y^2 < 4 * x + z

Jetzt musst du das Volumen der beschriebenen Punktmenge berechnen. Und das durch das Volumen der Grundmenge teilen.

---

danke für deine schnelle Antwort!
Ich habe das mal umgeschrieben:
$$M=\left \{ \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} \mid y^2 < 4x+z \wedge -1 \leq x,y,z \leq1 \right \}$$

Das würde dann ein Integral wie dieses ergeben oder?

$$\int_{z} \int_{y}\int_{x} f(x,y,z)\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$$

nun zu den Grenzen:

aus y² < 4 * x + z geht hervor, dass der Wertebereich für 4 * x + z wie folgt eingeschränkt werden kann:
4 * x + z ∈ (0 , 1] oder 0 < 4 * x + z <= 1

Das würde doch bedeuten, dass -1/4 <= x <= 1/2 sein muss sofern z ∈ [-1,1] 
Daraus würde ich nun folgends Integral bauen:
$$ \int_{-1}^{1} z\int_{0}^{1}y\int_{-\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} x\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$$

Ich werde da nur den Gedanken nicht los, dass das nicht stimmen kann ...

EDIT:

Die Grundmenge selbst ist ja einfach zu berechnen. Die ist einfach ein Würfel mit Seitenlänge 2.
also: $$V_G=2^3 = 8$$

---

Das stimmt sicher nicht, du hast ja keine abhängigen grenzen mehr. Das würde ich aber erwarten.

Die einschränkung des Wertebereichs gilt ja z.b. nur für y^2 = 0. Ist y^2 allerdings 1 dann ist dein Wertebereich zu groß.

Da solltest du also noch ein wenig dran feilen.

Dein Volumen der Grundmenge ist allerdings schon mal richtig. Darauf kannst du aufbauen.

---

Eigentlich hätte ich gehofft, dass das Ding irgendein Rotationskörper ist, jedoch habe ich mir das noch nicht so aufzeichnen können, dass ich mir da sicher sein kann.

Wenn man ein bisschen umformt kommt man auf: $$y^2 - 4x < z$$ $$\frac{y^2-z}{4} < x$$ $$y < \sqrt{z-4x}$$

Im Integral würde ich das so unterbringen: $$ \int_{-1}^{1} \int_{\sqrt{z-4x}}^{1} \int_{-1}^{\frac{y^2-z}{4}}f(x,y,z)\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$$