Zeigen Sie: Es gibt ein Polynom f ∈ K[x] mit grad(f) 0, das keine Nullstelle hat

Question

Aufgabe:

Sei K ein endlicher Körper. Zeigen Sie: Es gibt ein Polynom f ∈ K[x] mit grad(f) > 0, das keine Nullstelle hat

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht ganz wie ich das im Allgemeinen angehen soll da ich das zwar gut für einen Grad zeigen könnte aber ich weiß nicht so ganz wie ich es im allgemeinen zeigen soll

Vielen dank im voraus

Comments

Wähle vielleicht f(x) = x^m - x, wobei m = #K die Anzahl der Körperelemente ist.

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Dieses Polynom hat auf jeden Fall mindestens eine Nullstelle?

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Ja, sorry, es fehlte noch +1 und sollte heißen f(x) = x^m - x + 1.

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Und wie würde man dann weiter machen?

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Zeigen dass dieses Polynom keine Nullstelle hat und Grad > 0

Anders aufgeschrieben: Du könntest ja mal

$$ f = \prod_{a\in K} (x-a) +1$$

betrachten. Warum ist das Produkt wohldefiniert? Welche Nullstellen hat f in K? Was ist der Grad von f?

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Leider komme ich dennoch nicht so ganz weiter wie zeige ich denn das alles :/