Bestimmen sie für welche a in den komplexen zahlen dieses polynom eine mehrfache nullstelle hat

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Bestimmmen Sie, für welche \( a \in \mathbb{C} \) das Polynom \( g=x^{5}-5 x-a \in \mathbb{C}[x] \) eine mehrfache Nullstelle (in \( \mathbb{C} \) ) besitzt.

Problem/Ansatz:

Ich bin hier über die erste Ableitung rangegangen und habe geschaut wo Extremstellen sind. Ich habe für die reellen x=-1,x=1 raus und für die komplexen x=i und x=-i. Die x werte habe ich dann wieder in die Funktion eingesetzt und diese 0 gesetzt,damit die Extremstellen auf die x Achse rutsche , um das jeweilige notwendige a zu bestimmen. Für die reellen geht das auf jeden Fall aber bei den komplexen bin ich mir nicht sicher, ob das da auch so geht.

a=4, a=-4, a=4i, a=-4i

Answer 1

Du hast das ganz richtig gemacht: \(x_0\) ist genau dann mehrfache Nst. von \(g\),

wenn \(g(x_0)=g'(x_0)=0\) ist.

Wegen \(g'(x)=5x^4-5\) ist \(g'(x)=0\) genau dann, wenn

\(x\in\{\pm 1, \pm i\}\) ist. Diese in \(g(x)=0\) eingesetzt, liefert

\(a\in \{\pm 4, \pm 4i\}\).