polynom hat reelle Nullstelle

Question

Aufgabe:

Sei f(t) ∈ Q[t] ein irreduzibles Polynom vom ungeraden Grad n ≥ 3, sodass
die Galoisgruppe Gal(f) von f zur Diedergruppe Dn isomorph ist. Zeigen Sie, dass
das Polynom f(t) nur eine reelle Nullstelle besitzt.

Problem/Ansatz:

Zeigen Sie, dass es eine Bijektion zwischen den Nullstelen αi von f und
den Untergruppen der Ordnung 2 in Dn gibt. Welche Untergruppe der Ordnung 2
in Gal(f) einer reellen Nullstelle von f entspricht?

Answer 1

Hier eine Idee, leider nicht ganz zu Ende gedacht:

Die Galoisgruppe operiert transitiv auf der Menge der Nullstellen

von \(f\). Hätte \(f\) mindestens zwei reelle Nullstellen, etwa \(a\) und \(b\),

so gäbe es ein \(\sigma\in Gal(f)\) mit \(\sigma(a)=b\).

Da \(Gal(f)\cong D_n\) ist, hat \(\sigma\) entweder die Ordnung 2

oder eine ungerade Ordnung, da \(n\) ungerade ist.

Hieraus müsste man einen Widerspruch basteln können ...

Vielleicht kann man bei ord(\(\sigma\))=2 mit \(\sigma(ab)=ab\) etwas anfangen?

Noch eine Bemerkung: die Anzahl der reellen Nullstellen ist ungerade,

da \(n\) ungerade ist und die nichtreellen Nullstellen als komplex-konjugierte

Paare aufttreten, die Anzahl der nichtreellen Nullstellen also

gerade ist.