Sei \(\zeta=e^{i\cdot 2\pi/5}\). Dann ist \(1,\zeta,\zeta^2,\zeta^3\) eine
Basis von \(Q_5/Q\) mit \(1+\zeta+\zeta^2+\zeta^3+\zeta^4=0\).
Se \(\tau\) der Automorphismus, der durch \(\tau(\zeta)=\overline{\zeta}=\zeta^{-1}\)
gegeben ist. Wir bestimmen den Fixkörper bzgl. \(\tau\):
Sei \(z=x_0+x_1\zeta+x_2\zeta^2+x_3\zeta^3\), dann ist
\(\tau(z)=x_0+x_1(-1-\zeta-\zeta^2-\zeta^3)+x_2\zeta^3+x_3\zeta^2=\)
\(=x_0-x_1-x_1\zeta+(x_3-x_1)\zeta^2+(x_2-x_1)\zeta^3\).
Aus \(\tau(z)=z\) ergibt sich
\(x_0-x_1=x_0, \; x_1=-x_1, \; x_3-x_1=x_2, \; x_2-x_1=x_3\),
folglich \(x_1=0, \; x_2=x_3\), also
\(z=x_0+x_2(\zeta^2+\zeta^3)\).
Man sieht nun leicht ein, dass
\(Q(\zeta^2+\zeta^3)=Q(a)\) ist.
Ich erhalte als Minimalpolynom von \(a\):
\(X^2-\frac{1}{2}X-\frac{1}{4}\), natürlich ohne Gewähr ;-)
