Welche Polynome in Q[X] kommen als Minimalpolynom von f in Frage?

Question

Aufgabe:

Sei K = Q der Köper der rationalen Zahlen, sei V ≠ 0 ein endlich- dimensionaler Q-Vektorraum und sei f : V → V ein Endomorphismus von V , für den f^2 = 4f gilt, d.h. f(f(v)) = 4f(v) für alle v ∈ V .

(1) Welche Polynome in Q[X] kommen als Minimalpolynom von f in Frage?
(2) Begründen Sie, dass f diagonalisierbar ist.

Problem/Ansatz:

Bei 1) weiß ich leider nicht genau wie ich da drauf kommen soll.

Zu 2) : f ist genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis B gibt, so dass die Darstellungsmatrix die Diagonalgestalt mit den zugehörigen Eigenwerten besitzt. Also f(v)= λ*v=∑λδv Wäre das so richtig?

Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte. :)

Answer 1

Hallo:-)

(2) ist bei dir nur eine äquivalente Formulierung, die aber hier den Sachverhalt nicht begründet, warum \(f\) diagonalisierbar ist.

Ich glaube, es ist hier sogar tatsächlich einfacher mit (2) anzufangen. Die Kunst ist nun, die Eigenwerte hier zu ermitteln. Betrachte mal einen Eigenvektor \(v\in V\) von \(f\) mit Eigenwert \(\lambda\in \mathbb{Q}\). Also gilt erstmal \(f(v)=\lambda\cdot v\).

Jetzt kann man mal eine Fallunterscheidung machen:

1.) \(f(v)=0\quad \Rightarrow \quad f(0)=f(f(v))=4\cdot f(v)=4\cdot 0=0\). Also ist hier \(v\) Eigenvektor von \(f\) zum Eigenwert \(0\).

2.) Probiere mal den Fall für \(f(v)\neq 0\) durchzuspielen.

Nun ist nach Voraussetzung \(V\) endlichdimensional. Also hast du mit dem Dimensionssatz jeweils eine Basis \(v_1,...,v_k\) zum Bild von \(f\) und eine Basis \(v_{k+1},...,v_n\) zum Kern von \(f\).

Und jetzt betrachte davon jeweils einen Basisvektor von \(\operatorname{Bild}(f)\) und \(\operatorname{Ker}(f)\). Was stellst du beim Einsetzen in \(f\) fest? (Tipp: Schaue nochmal in 1.) und 2.) vorbei).

Jetzt kannst du das charakteristische Polynom aufstellen und daraus das Minimalpolynom bekommen.