Minimalpolynom f=kgv von Polynomen f|U_i

Question

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n und \(\displaystyle f:V\rightarrow V\) ein Endomorphismus. Zeigen Sie:
Wenn \(\displaystyle V=U_1+...+U_m\) mit f-invarianten Unterräumen \(\displaystyle U_1,...,U_m\), dann ist das Minimalpolynom \(\displaystyle m_f\) das kleinste gemeinsame Vielfache der Polynome \(\displaystyle m_{f|_{U_1}}(x),...,m_{f|_{U_m}}(x)\).

Problem/Ansatz: Lineare Algebra 2 Lehramt

Hier habe ich leider gar keine Idee.

Answer 1

Hat sich erledigt.
\(\displaystyle m_{f|_{U_1}}=m_{f,v_1},...,m_{f|_{U_m}}=m_{f,v_m}\) (ist mir noch unschlüssig, siehe andere Frage)
kgV(p,q) ist normierter Erzeuger von \(\displaystyle (p)\cap (q), p, q\in K[x]\).:
\(\displaystyle (m_f)=(m_{f,v_1})\cap...\cap (m_{f,v_m})\) folgt aus \(\displaystyle (m_A)=(m_{A,v_1})\cap...\cap (m_{A,v_m})\) (wurde hier in anderer Aufgabe gezeigt) und \(\displaystyle m_f(x)=m_A(x)\), wegen \(\displaystyle A=_BM_B(f)\), weil U und V gleiche Basis haben (ebenfalls in anderer Aufgabe gezeigt).
Damit ergibt sich \(\displaystyle m_f=kgV(m_{f,v_1}(x),...,m_{f,v_m}(x))=kgV(m_{f|_{U_1}}(x),...,m_{f|_{U_m}}(x))\).

EDIT: Kommentar zu Antwort gemacht für spätere Fragesteller.