Aufgabe 1:
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{3^{n}+2^{n}+1^{n}}{4^{n}+1^{n}}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{3}{4}\right)^{n}}=\frac{3}{4} \)
2^n, 1^n sind gegenüber den Potenzen mit größerer Basis bei der Grenzwertbetrachtung vernachlässigbar.
Der Grenzwert ist 3/4 < 1, die Reihe konvergiert absolut.
Aufgabe 2:
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{\left(n^{2}+2 n+1\right)^{n}}{n^{2 n}}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{n^{2 n}}{n^{2 n}}}=1 \)
2*n, 1 sind gegenüber n^2 vernachlässigbar bei einer Grenzwertbetrachtung.
Der Grenzwert ist 1, damit ist das Wurzelkriterium nicht geeignet um Aussagen über die Konvergenz der Reihe zu treffen.