Aufgabe:
Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine streng monoton wachsende Funktion. Wir definieren eine Abbildung \( d_{f}: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) durch
\( d_{f}(x, y):=|f(x)-f(y)| \)
(a) Überprüfen Sie, dass \( d_{f} \) eine Metrik auf \( \mathbb{R} \) ist.
(b) Gegeben \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) durch
\( g(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1-2^{-x}, & \text { für } x \geqslant 0 \\ 2^{x}-1, & \text { für } x<0 \end{array}\right. \)
Beweisen Sie, dass \( g \) streng monoton wachsend ist. Skizzieren Sie den Graph von \( g \).
Ansatz/Problem:
Probleme mit der b) und zwar mit dem streng monoton wachsend. Mein problem ist dass die funktion ja in 2 geteilt ist also einmal x ≥ 0 und einmal x < 0.
Für streng monoton wachsend soll ja gelten:
Für jedes x1 < x2 gilt g(x1) < g(x2) soll ich das nun 2 mal machen und zwar einmal für x ≥ 0 und einmal x < 0?
