Welche Fläche wird hier von K und x-Achse eingeschlossen?

Question

f(x) = x(x-3)^2

gegeben ist eine Funktion, die den Flächeninhalt einer Fläche angibt, die von dem Graphen K von f(x) und der x-Achse eingeschlossen ist.

A= 0,25 * (u^4 - 8*u^3 + 18*u^2)

u liegt zwischen 0 und 3 (kann auch gleich 0 oder drei sein)

Bitte helft mir, ich habe schon einiges versucht (Dreieck, Trapez, etc. ) ! Welche Fläche ist es die eingeschlossen ist?

Aufgabe: Zeigen Sie , dass die Gleichung A den Flächeninhalt der gesuchten Fläche darstellt. Bestimmen Sie eine Parallele zur y-Achse, die die Fläche halbiert.

Answer 1

f(x) = x·(x - 3)^2 = x^3 - 6·x^2 + 9·x

F(x) = 0.25·x^4 - 2·x^3 + 4.5·x^2 = 0.25·(x^4 - 8·x^3 + 18·x^2)

Die Funktion F(x) und damit auch A gibt das Integral zwischen der Funktion und der x-Achse in den Grenzen von 0 bis x (bzw. u) an.

F(3) = 6.75

F(x) = 6.75/2 --> x = 1.157182704

Comments

Achso, vielen Dank. Ich hab es für einzelne geometrische Figuren ausprobiert und dachte nicht dass man A (u) einfach mit f(u) gleichsetzen kann!

Answer 2

.

A= 0,25 * (u⁴ - 8*u³ + 18*u²)

Die Fläche , die von dem Graphen K von  f(x) = x(x-3)² = x^3 - 6x^2 + 9x
und der x-Achse eingeschlossen ist,
-> bekommst du, wenn du für u=3 einsetzt => A(3) = 27/4

Und nun sollst du u so bestimmen, dass die Gerade x=u diese Fläche halbiert

Also musst du folgende Gleichung lösen:
-> für welches u gilt

-> 0,25 * (u⁴ - 8*u³ + 18*u²) = 27/8

oder
-> (1/4)*  u^4 - 2*u^3 + (9/2)*u^2 - 27/8 = 0

diese Gleichung wirst du wohl nur mit numerischen Methoden lösen können..
Tipp dazu: die Lösung, die du suchst,  wird im Intervall ( 1  / 1,3 ) liegen...

.