wie berechne ich den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion und der x-Achse eingeschlossen wird?

Question

f(x)=3x^3-12x
wie berechne ich den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion und der x-Achse eingeschlossen wird?


Ich versuche, in die Integralrechnung wieder reinzukommen, und kann mich nicht mehr genau erinnern, was ich tun muss.
also dass ich erstmal die Stammfunktion brauche ist es klar, habe: F(x)= 3/4x^4-6x^2+C

Hätte ich Grenzen gegeben, wäre es ja klar, dass ich die für x einsetzen muss. das mit der x-Achse ist das, was mich jetzt verwirrt.

Answer 1

Aloha :)

Du musst von einer Nullstelle zur nächsten integrieren, weil Flächen unterhalb der \(x\)-Achse negativ und oberhalb der \(x\)-Achse positiv gezählt werden.$$f(x)=3x^3-12x=3x(x^2-4)=3x(x-2)(x+2)$$Wir haben also drei Nullstellen \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\), sodass die Fläche lautet:

$$F=\left|\int\limits_{-2}^0\left(3x^3-12x\right)dx\right|+\left|\int\limits_0^2\left(3x^3-12x\right)dx\right|$$$$\phantom{F}=\left|\left[\frac{3}{4}x^4-6x^2\right]_{-2}^0\right|+\left|\left[\frac{3}{4}x^4-6x^2\right]_0^2\right|=12+|-12|=24$$

~plot~ 3x^3-12x ; [[-3|3|-20|20]] ~plot~

Answer 2

Hallo,

berechne zunächst die Nullstellen der Funktion, die auch die Integralgrenzen bilden. In diesem Fall reicht es wegen der Symmetrie zum Ursprung, nur eine der Flächen zu berechnen. Allerdings solltest du anschließend nicht vergessen, dein Ergebnis mit zwei zu multiplieren ;-)