Aloha :)
Da wir die Fläche bestimmen sollen, die der Graph der Funktion \(f(x)=x(x^2-4)\) mit der x-Achse einschließt, bestimmen wir zunächst die Punkte, bei denen der Graph die x-Achse schneidet, also die Nullstellen:$$0\stackrel{!}{=}f(x)=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)\quad\Rightarrow\quad x_1=-2\;;\;x_2=0\;;\;x_3=2$$
Die interessierenden Bereiche sind also die Intervalle \([-2;0]\) und \([0;2]\). Über diese Bereiche müssen wir integrieren und die Beträge der resultierenden Integrale addieren. Die Beträge deswegen, weil das Integral negativ ist, wenn die Fläche unterhalb der x-Achse liegt und positiv, wenn die Fläche oberhalb der x-Achse liegt.
$$F=\left|\int\limits_{-2}^0x(x^2-4)\,dx\right|+\left|\int\limits_{0}^2x(x^2-4)\,dx\right|$$$$\phantom{F}=\left|\int\limits_{-2}^0(x^3-4x)\,dx\right|+\left|\int\limits_{0}^2(x^3-4x)\,dx\right|$$$$\phantom{F}=\left|\left[\frac{x^4}{4}-2x^2\right]_{-2}^0\right|+\left|\left[\frac{x^4}{4}-2x^2\right]_0^2\right|$$$$\phantom{F}=\left|0-\left(\frac{(-2)^4}{4}-2(-2)^2\right)\right|+\left|\frac{2^4}{4}-2\cdot2^2-0\right|$$$$\phantom{F}=\left|-4+8\right|+\left|4-8\right|=8$$
