Erzeugendensystem im K-Vektorraum

Question

Es sei ein Körper K, ein K-Vektorraum V, n∈IN_(0) und ein n-Tupel s=(s_(1),...,s_(n)) in V gegeben.

Ferner sei U := <s_(1),...,s_(n)>.

Gilt dann falls n >= 1, <s_(1),....,s_(i-1),s_(i+1)...,s_(n)>  ⊆ <s_(1),..,s_(n)> für alle i∈[1,n]

wobei die spitzen klammern < > ein Erzeugendensystem beschreiben.

Answer 1

Na klar, das heißt doch nur, dass wenn man bei einem Erzeugendensystem

ein erzeugendes Element weglässt, das Ergebnis eine Teli

menge dessen ist, was man mit allen erzeugen kann.

klarm man muss nur vor das fehlende Element den Faktor 0 setzen,
dann kann man das Erzeugte auch mit allen erzeugen.

Allerdings können die beiden Erzeugnisse auch gleich sein, wenn z.B.

der Weggelassene selbst durch die verbliebenen erzeugt werden kann.

Comments

DAnke! Eine Frage hätte ich noch wo ich mir unsicher bin. Ist <s_(1)+s_(2)> ⊆  <s_(1),s_(2)> ? 
Ich habe mir als beispiel: s_(1) = (1,0,0) und s_(2) = (0,1,0) genommen. dann würde ja stehen:

<(1,1,0)> ⊆  <(1,0,0),(0,1,0)>

intuitiv würde ich behaupten diese Aussage stimmt, aber wie begründe ich das?

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wenn du einen Vektor durch s1+s2 erzeugen kannst, ist er

a*(s1+s2) = a*s1+a*s2 also kann er auch mit s1,s2 erzeugt werden.

umgekehrt natürlich nicht