f Endomorphismus. Beweis von \( A~=~\Phi^{-1}\circ f\circ\Phi~~~\forall\Phi :\mathbb{K}^n \) ...

Question

Hallo an alle Interessierten!

Sei \(V\) ein endlichdimensionaler Vektorraum über \(\mathbb{K}\) und \(f:V\to V\) ein Endomorphismus.
Folgende Aussage soll bewiesen werden:
\(A~=~\Phi^{-1}\circ f\circ\Phi~~~\forall\Phi :\mathbb{K}^n \to V ~~~~ \Rightarrow ~~~~ \exists\lambda\in\mathbb{K}:f=\lambda Id_V\)

Dabei ist \(Id_V\) die Identität auf V.

Vielen Dank und nette Grüße!

EDIT(Lu): Pfeil gemäss Kommentar gesetzt.

Comments

Fehler entdeckt:

\(f:V\to V\) sinnvoller Weise statt \(f:V\mapsto V\)...

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Was ist A?  

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\(A\) ist eine Matrix bzw. zugehörige lineare Abbildung mit \(A:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^n, x\mapsto\Phi^{-1}\circ f\circ\Phi(x)\).

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Das heißt, wenn \( A \) unabhängig von der Wahl von \( \Phi \) immer gleich aussieht, muss \( f \) und damit \( A \) die Form \( f = \lambda Id_V \) haben.

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Ja, genau so - aber \(\Phi\) sollte natürlich immer ein Isomorphismus sein.

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Wie wäre \( \Phi^{-1} \) wohl sonst zu erklären?

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Als Urbild könnte man es auch missverstehen...

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Dies verträgt sich allerdings nicht mit der vom User genannten Notation, die jenem Missverständnis vorbeugt.

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Richtig, wenn man die Kommentare beachtet.