Zeigen Sie, dass dann \phi \circ \psi invertierbar ist mit Inversem \psi^{-1} \circ \phi^{-1} .

Question

Seien \( \phi \in \mathcal{L}(U, V) \) und \( \psi \in \mathcal{L}(V, W) \) invertierbar. Zeigen Sie, dass dann \( \phi \circ \psi \) invertierbar ist mit Inversem \( \psi^{-1} \circ \phi^{-1} \).

Answer 1

Ich schreibe mal f und p statt phi und psi und I für die identische Abbildung.

Wenn Invertierbarkeit zu zeigen ist und schon eine potentielle Inverse vorgeschlagen wird, braucht man nur nachrechnen. Hier wird das Assoziativ-Gesetz vür die Verknüpfung von Funktionen benutzt:

$$(f \circ p) \circ (p^{-1}  \circ f^{-1})=f \circ (p \circ p^{-1})  \circ f^{-1}=f \circ I \circ f^{-1} = f \circ f^{-1}=I$$

Genauso behandelt man \( (p^{-1}  \circ f^{-1}) \circ (f \circ p)\)