Funktionen auf Definitionsbereich, Wertebereich, Symmetrie, Monotonie und Periodizität untersuchen

Question

Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Definitionsbereich, Wertebereich, Symmetrie, Monotonie und Periodizität:

$$ f ( x ) = \frac { 1 } { x ^ { 3 } } $$

$$ f ( x ) = \frac { 1 } { 2 } \sin ( x ) + 2 $$

$$ f ( x ) = \frac { x ^ { 2 } } { 3 } + 5 $$

Comments

Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Definitionsbereich, Wertebereich, Symmetrie, Monotonie und Periodizität:

Interessante Fragestellung. Definitionsbereiche gehören mit zur Definition von Funktionen. Gemeint ist vielleicht "grösstmöglicher reeller Definitionsbereich".

Answer 1

f(x) = 1/x^3

Definitionsbereich = R \ {0}
Wertebereich = R \ {0}
Symmetrie ---> f(-x) = -f(x) ---> Punktsymmetrisch
Monotonie --> f'(x) = -3/x^4 < 0 ---> Monoton fallend bis auf die Polstelle bei 0.
Periodizität ---> Keine

f(x) = 1/2*sin(x) + 2

Definitionsbereich = R
Wertebereich = [1,5 ; 2.5]
Symmetrie ---> Keine Achsensymmetrie zur y Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung.
Monotonie --> Monotonie nur zwischen den Hoch und Tiefpunkten.
Periodizität ---> 2 pi

f(x) = 1/3 * x^2 + 5

Definitionsbereich = R
Wertebereich = [5 ; ∞]
Symmetrie ---> f(-x) = f(x) ---> Achsensymmetrie zur y Achse
Monotonie --> Mononton steigend für x > 0 und Monoton fallend für x < 0
Periodizität ---> Keine