x-Koordinaten der Berührungspunkte aller zu t parallelen Tangenten?

Question

Gegeben ist die Funktion f(x)=x^4-x^3-x^2+x

1. Wie lauten die x-Koordinaten der Berührungspunkte aller zu t parallelen Tangenten an den Graphen y=f(x) ?

2. Für welche Werte des Parameters c berühren sich die Kurven y=f(x) und  y=x^2+c ?

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Hier sind die Lösungen.

Ich würde gerne wissen wie man auf diese kommt .. also mit rechenweg und soo .. Danke !!!
 

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@ Redaktion. Bitte Link zu vollständiger Aufgabe und Resultaten nicht entfernen. Dient zur Kontrolle. Danke.

Answer 1

Zur ersten Frage dieser Aufgabe

t ist offenbar schon berechnet als y = x        (Habe ich aus dem Link)

Die Steigung von t ist m=1

Jetzt brauchst du die Stellen (x-Werte), an denen 

 f(x)=x^4-x^3-x^2+x 

die Steigung 1 hat.

Plan

Deshalb: a) Ableiten.b)Ableitung = 1 setzen und diese x-Werte berechnen c)y-Koordinaten der Berühungspunkte bestimmen d) Geradengleichungen durch diese Punkte bestimmen (Für m die Zahl 1 verwenden)

Verstehst du das? Probier mal.

Comments

Plan bei der zweiten Aufgabe:

Berühren heisst: 

a) Ein gemeinsamer Punkt.

b) Gleiche Steigung in diesem Punkt.

Deshalb 

 a)      x^4-x^3-x^2+x  = x^2+c

b)      4x^3 -  2x^3 - 2x + 1 = 2x

Hier kann man vermutlich aus b) x-Werte der Berühnungspunkte berechnen. Fatorisierung ist wohl nicht evident. Vielleicht braucht's Numerik; z.B. Newtonverfahren.

Die x-Werte dann in a) benutzen um c zu berechnen. 

 

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Jaa Danke Lu .. Alles verstanden mein hilfsbereiter "Freund" .. und könntest du mir möglicherweise auch die zweite Frage erklären .. ? :) Bitte ..^^

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mhh schwierig nachzuvollziehen .. kannste es vielleicht vorrechnen Lu .. ?? wär echt nett :)

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 a) x^4-x^3-x^2+x  = x^2+c

Daraus bekommt man die Formel für c, falls man die x-Werte hat.

x^4-x^3-2 x^2+x  = c

Ja richtig! Bei der Ableitung für f(x) links stimmt etwas nicht! Besser ist:

b) 4x^3 - 3x^2 -2x + 1 = 2x             |-2x

4x^3    -   3x^2 - 4x + 1 = 0            Das kann ich nun nicht im Kopf faktorisieren und für das Newtonverfahren habe ich heute Nachmittag leider keine Zeit. - Vielleicht bis später. 

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Hallo Anes,

Hallo Lu,

Wenn's Euch recht ist, mach ich einen Schritt weiter.

Den Lösungsweg hat Lu schon beschrieben, hier wären also noch die Nullstellen der Gleichung

4x^3    -   3x^2 - 4x + 1 = 0

(Es gibt ein Programm von Arndt Brünner, mit dem man die Nullstellen kubischer Gleichungen online bestimmen kann: https://www.matheretter.de/rechner/polynomgleichung/?a3=4&a2=-3&a1=-4&a0=1

x₁ = -0,82632054
x₂ = 0,22366884
x₃ = 1,3526517

Jetzt in die Gleichung von a) einsetzen und damit die c_1-3 bestimmen

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@ Capricorn: Besten Dank. Das ist bequemer.

@ Anes: falls du unbedingt rechnen musst: https://www.mathelounge.de/1560/wie-bestimmt-man-naherungsweise-losungen-dieser-gleichung?show=1561#a1561 erklärt das Newtonverfahren an einem andern Beispiel. Das kannst du bestimmt nachvollziehen und nachmachen.