Mathe-Abitur NRW 2013: Aufgabe Grundkurs Vektoren

Question

An dieser Aufgabe sind so gut wie alle gescheitert!!!

Online gibt es noch keine Lösung hierzu und kein PDF-Download oder so. 

 

Grundkurs/GK Hauptteil 4: Lineare Algebra - VEKTOREN

Aufgabe: Licht und Schatten

Gegeben ist eine Lichtquelle L und ein Pappdreieck ABC. Dieses wirft einen Schatten auf die Leinwand in der x2 x3-Ebene, wo das Dreieck A'B'C' entsteht. Zeichnung war gegeben.

Aufgaben:

1. Berechne die Seitenlängen des Dreiecks ABC,

2. Bestimme die Position des rechten Winkels in Dreieck ABC und Flächeninhalt des Dreiecks,

3. Bestimme die Koordinaten der Punkte A', B', C'

4. Nachweisen, dass das Dreieck A'B'C' nicht rechtwinklig ist,

5, Volumen der Pyramide LA'B'C' bestimmen (Flächeninhalt des Dreiecks A'B'C' war gegeben ... ),

6. Parameterform der Ebene E durch A, B, C ermitteln,

7. Lotvektor senkrecht auf dieser Ebene E bestimmen,

8. Lotgerade (senkrecht auf E) durch L bestimmen,

9. Schnittpunkt F dieser Lotgeraden mit der Ebene E bestimmen,

10. Volumen des Schattenraums zwischen Dreieck ABC und A'B'C' bestimmen (Differenz zweier Pyramidenvolumen).

 

Wer das lösen kann, der ist echter Mathe-Experte!!

Ich und tausend andere würden uns freuen, wenn jemand das schafft zu erklären =)

Comments

Soll das allgemein gelöst werden oder waren da noch Werte gegeben?
Wenn es da noch konkrete Zahlenwerte gibt, dann gib die doch bitte noch mit an oder poste einen Link mit der Aufgabenstellung. Schreibe das bitte einfach in einen Kommentar unter deiner Frage.

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1) Vektoren a, b, c bestimmen (=BC, AC, AB) und ihre Länge mit Pythagoras.

2) Folgendes berechnen: a*b dann a*c dann b*c; eins dieser Rechnungen ergibt 0; dann ist die Position des rechten Winkels klar. Flächeninhalt:  Die beiden seiten, die den rechten Winkel eingrenzen: deren Länge multiplizieren! Und durch 2 teilen!

3) Gerade durch L mit Richt.vektor a, Gerade durch L mit Richt.vektor b, Gerade durch L mit Richt.vektor c; diese drei Geraden bestimmen. Sie mit der Ebene x1 = 0 schneiden lassen.

4) Genau wie oben: a', b', c' berechnen; a' * b' dann a' * c' dann b' * c'; wenn nichts davon Null ergibt, hat man's bewiesen!

5) Hier muss man tricksen, um die Höhe der Pyramide zu bestimmen: Man nehme den Normalenvektor der Ebene x1 = 0, das ist n = (1|0|0). Man bilde eine Gerade durch L mit Richt.vektor n; man schneide die Gerade mit der Ebene x1 = 0; der Schnittpunkt ist, sagen wa, C; man bestimme den Abstand LC, das ist die Höhe. Dann gilt: (1/3) * h * G; G ist der gegebene Flächeninhalt. h ist die Höhe.

6) a(=BC) und b(=AC) sind die Richtungsvektoren. OA ist der Ortsvektor.

7) Lotvektor = Normale; Für die Normale gilt: n*a = 0 und n*b = 0 und n*c = 0; Gleichungssystem auflösen und n1, n2, n3 bestimmen. Ich bin nicht sicher, ob das funktioniert. Wir, im LK, machen das immer mit dem Kreuzprodukt: n = a kreuz b.

8) Man nehme die zuvor bestimmte Normale n. Man bestimme die Gleichung der Geraden durch L mit Richt.vektor n. Das ist die gesuchte Lotgerade.

9) Für den Schnittpunkt F: Lotgerade mit Dreiecksebene schneiden lassen.

10) Hier muss man wieder tricksen: Man bestimme die Volumina von den Pyramiden LABC und LA'B'C'. Das zweite haben wir schon. Für die erste Pyramide haben wir bereits unbewusst Vorarbeit geleistet, nämlich F berechnet. Jetzt: Abstand LF mit Pythagoras berechnen. Das ist die Höhe. Den Flächeninhalt haben wa ja schon, also: V2 = (1/3) * h * G. V1 haben wir schon, V1 ist die größere Pyramide. Der Schattenraum ist V1 ohne V2. also Schattenraum R = V1 - V2.

 

Für Hinweise auf eventuell Fehler bin ich dankbar. Viel Spaß!

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(5) kann man alternativ auch einfach mit der Hessesche Normalform berechnen.

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Hier sind die konkreten Werte zur Aufgabe!!!

A(30|10|16)

B(32|11|18)

C(31|12|14)

L(40|10|18)

Kann es jetzt jemand konkret auflösen? Und bitte sagt, wie lange ihr dafür gebraucht habt.

!! :)

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Sicher, dass C1 31 ist? Da kommen krumme Werte raus, das kann ich mir nicht vorstellen...

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Hier steht doch wie es geht; um das zu lösen, braucht man keine Mathekenntnisse mehr, sondern man muss nur lesen können.

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Hallo Die Aufgabe fordert Euch im räumlichen Denken, aber ansonsten ist alles lösbar.Denkt auch das ihr einen Taschenrechner habt. MfG aus Sachsen

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Also bitte,

ich bin aus Sachsen und so etwas kommt bei uns in normalen Leistungskontrollen dran.
Das können bei uns die Schüler Ende der 10. oder allerspätestens Anfang der 11. Klasse einwandfrei.
Und das dauert maximal eine halbe Stunde (ausführlichst und mit Skizzen) !

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Ich bin in Bayern in der 12. Klasse und diese Aufgabe finde ich wirklich nicht schwer. Da ist kein Transfer und kein  Knobeln dabei. Wenn man in der 11. Und 12. Ein paar mal anwesend war ist das ganz easy. Der, der angeblich Physik studiert hat, hat wohl sein Abi im Lotto gewonnen.

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Also mal ehrlich... Ihr in NRW regt euch über eure Prüfungen auf.
Wir haben heute geschrieben und da waren die Aufgaben wesentlich schwerer und vor allem komplexer, aber lösbar.
Und wenn man das nicht weiß, wenn man Physik studiert hat ist echt schwach ^^

Schönen Gruß aus Sachsen-Anhalt

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Hey Sachsen-Anhalt. Nimm Dir diese Prüfung nicht als Beispiel-NRW-Prüfung. Das ist die einfachste von denen, die wir hatten. Natürlich hatten wir auch mehr Komplexität und Anspruch in unseren Prüfungen.

Und der Physiker; ich glaub, der hat das hier extra reingeschrieben, um belächelt zu werden haha

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in wiefern jetzt "die einfachste" ?

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Erstens, das ist nur GK (aber für n GK ist das kein Argument). Zweitens die Aufgaben sind voll einfach gestellt, d.h. der Kontext ist leicht nachvollziehbar. Drittens es gibt keine wirklich weiterführenden Teilaufgabe in dieser Aufgabe, also Teilaufgaben aus dem AFB3.

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Ist das euer ernst? Und dann regt ihr euch auf, dass ihr so runtergestuft werdet im Abitur? Das ist sowas von easy, das könnte man auch ohne lernen schaffen.
Lächerlich.

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1. Berechne die Seitenlängen des Dreiecks ABC : 3*3 Subtraktionen + 3 Skalarprodukte

2. Bestimme die Position des rechten Winkels in Dreieck ABC und Flächeninhalt des Dreiecks, mit Hilfe der Zeichnung 1 Skalarprodukt + 2 Multiplikationen + 1 Division

3. Bestimme die Koordinaten der Punkte A', B', C'  3*3 Subtraktionen + 3 Divisionen +2*3 Multiplikationen +2*3 Additionen

4. Nachweisen, dass das Dreieck A'B'C' nicht rechtwinklig ist, 3 Skalarprodukte

5, Volumen der Pyramide LA'B'C' bestimmen (Flächeninhalt des Dreiecks A'B'C' war gegeben ... ), 1 mal in die Formelsammlung gucken, 2 Multiplikationen (Höhe= x1 von L)

6. Parameterform der Ebene E durch A, B, C ermitteln, einfach aufschreiben, hier ist nix zu tun

7. Lotvektor senkrecht auf dieser Ebene E bestimmen, Vektorprodukt bilden = 3 Subtraktionen + 6 Multiplikationen

8. Lotgerade (senkrecht auf E) durch L bestimmen, wieder nix zu tun, einfach aufschreiben Ortsvektor = L Richtungsvektor aus 7

9. Schnittpunkt F dieser Lotgeraden mit der Ebene E bestimmen,  Normalenorm bilden : es fehlt noch ein Vektorprodukt+ einsetzen und ausrechnen= 6 Multiplikationen + 6 Additionen +1 Subtraktion + 1 Division, Punkt bestimmen 3 Additionen

10. Volumen des Schattenraums zwischen Dreieck ABC und A'B'C' bestimmen (Differenz zweier Pyramidenvolumen).  2 Multiplikationen

 

Ergibt: 36  Additionen 25 Subtraktionen 51 Multiplikationen  5 Divisionen  = 117 Rechenoperationen, daher 46 Sek pro Rechenoperation alla 31-30=1... und ihr beschwert euch die dafür braucht man doch echt höchsten 30 Min inklusive Kontrolle :D

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Nachdem das Ganze von der Presse bundesweit hochgeschaukelt wurde, hab ich mich (BY) jetzt mal (NRW-Abi liegt ja schon ein paar Tage zurück) dafür interessiert und wollte sehen, was dran ist.

Über diese Abitur- Aufgabe regt Ihr Euch also auf? Jesus sagte mal: Sie wissen nicht, was sie tun.

Da braucht man doch keine Expertenkommission, die das untersucht und krampfhaft Erklärungen für die Berechtigung und Korrektheit der Aufgabenstellung sucht. Das sind doch fast ausschließlich kurzatmige Standardaufgaben (einzig zu checken, dass die kleine Pyramide am besten nicht mit 1/3 G* h (so, wie von Ribert vorgeschlagen, sondern mit „Spatprodukt-Pyramiden –Formel“ anzugehen ist >>ein Kreuz-Produkt, ein Skalarprodukt – ach ja: noch durch 6 teilen, ist eine Mini-Herausforderung und dann in 2 Zeilen erledigt). „Anonym“  hat die Einfachheit der Gesamtaufgabe in seiner Lösungsbeschreibung deutlich gemacht; dem ist so gut wie nichts hinzuzufügen. Wenn da angeblich ein ganzer Landes-Abiturjahrgang scheitert, dann kann der sich gleich bei den Chinesen für Sklavenarbeit vormerken lassen.

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Also wenn das mal nicht zu schaffen ist... Ich hatte die gleiche Klausur im Abitur und eine 1+ geschaffet. Selten so eine einfache Klausur gesehen.

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Ist ja ganz toll :D Und eine besonders hilfreiche Nachricht... nicht.

Ist ja schön, wenn du es auf Anhieb schaffst. Dann überlies doch die Frage ganz oben und erfreue Dich daran oder, wenn man schon kommentiert, dann schreibe gefälligst einen Kommentar, welches der Person hilft.

Ich hoffe auch du wirst mal auf diese arrogante Weise "belächelt", wenn du mal Hilfe bei etwas brauchst, was anderen leicht fällt.

Grundstoff hin oder her - nicht jedem fällt alles leicht. Ist doch schön wenn man sich Hilfe sucht!

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Also zu aller erst ich schreibe mein Mathe-Abitur. 2014 auch in NRW und wir haben diese Aufgabe im Unterricht besprochen. So ist sie natürlich nicht schwer mit ein wenig Geschick kommt man an sein Ziel . ABER: wir haben diese klausur in Unterricht mit Lehrern gelöst und nicht im Abi wo man sowieso schon gestresst ist im Nachhinein aus anderen Bundesländern zu hören wie einfach es ist diese klausur zu lösen ist ein wenig naiv. Im Abitur währt ihr nicht so gelassen euch entfallen Dinge und ihr vergesst die einfachsten Sachen so eine klausur ist nicht abiturgerecht, denn sie verwirrt den Schüler noch mehr . Außerdem war diese Aufgabe von den 3 anderen die einfachste die Matrizen klausur ist doppelt so schwer.

Answer 1

1) Seitenlänge: Betrag der vektoren

l(vektor AB)l = Wurzel aus (ab1² + ab2²+ab3²)

Das selbe für die anderen auch.

Da sieht man dass ab und ac gleich lang sind.

2) da ac und ab gleich lang sind, kann man davon ausgehen, dass hier der rechte winkel ist.

Dann muss man von den beiden vektoren die orthogonalität berechnen.

3) Vektor A'      (o/x2/x3) = OL + s LA  

Dann macht man daraus ein Gleichungssystem und berechnet s. Setzt s in die anderen Punkte ein und berechnet x2 und x3. Dann hat man A'

4) Ortogonalität zwischen A'B' und A'C' berechnen.

5) 1/3 * Grundfläche * Höhe

6) Normale Parametergleichung berechnen: x= OA+ s*AB + r*AC

und den rest habe ich gerade vergessen :D

Answer 2

(1)

Seitenlängen zu berechnen sollte einfach sein. Punkte A B C sind gegeben. Man jeweils die Vektoren AB, AC, BC ausrechnen und den Betrag nehmen: |AB|, |AC|, |BC|.

(2)

Rechter Winkel ist auch Elementarwissen. Skalarprodukt zwischen |AB| * |AC| muss 0 ergeben, damit dort ein rechter Winkel ist. (Ich weiß jetzt nicht mehr genau wo der war ohne Werte von den Punkten)

(3)

Lichtpunkt ist gegeben. Die Ebene der Wand ist gegeben. Also 3 Graden bilden:

g1: OX = OL + t * LA

g2: OX = OL + s * LB

g2: OX = OL + s * LB

E: x1 = 0

Alle Graden mit der Ebene schneiden lassen, dann erhalte ich t, s und r und kann die Schnittpunkte A' B' C' ausrechnen.

(4)

Siehe (2) nur halt mit A' B' C'. Im LK sollten wir noch die Winkel berechnen, aber dazu gibt es ja die Winkelfunktionen in der Formelsammlung.

(5)

Abstand Ebene E zu Punkt L mit der Hessischen Normalenform berechnen. Dann kann ich einfach V = Flächeninhaltdreieck * Höhe.

(6)

Also wer das nicht kann ...

E_ABC = OA + t* AB + s*AC

(7)

Normalenvektor n bestimmen.

AB muss senkrecht auf n stehen

AC muss senkrecht auf n stehen

sprich:

AB * n = 0

AC * n = 0

===> lineares Gleichungssystem lösen und n aufstellen

(8)

Lotgerade mit Normalenvektor von E als Richtungsvektor und durch L aufstellen: g: OX = OL + t *n 

(9)

Schnittpunkt von g aus (8) und E aus (7). Sprich g in E einsetzen.

(10)

Volumen von A'B'C' Pyramide wurde ja schon berechnet.

Seitenlängen von ABC wurde in (1) ausgerechnet. Da das Dreieck rechwinkelig ist, kann ich ganz einfach die Fläche berechen, da die Höhe einfach eine Seitenlänge ist, die am rechten Winkel liegt. Höhe der 2. Pyramide kann ich ja auch ganz einfach ausrechnen mit den Punkten L und F aus (9) Höhe: |FL|. Dann kann ich das Volumen von der Pyramide mit ABC als Grundfläche ausrechnen.

Am Schluss einfach das Volumen der beiden Pyramiden von einander abziehen und ich bekomme den Schattenraum.

Comments

Bei 5) muss man nicht tricksen, die Höhe kann direkt am x1 Wert von der Pyramidenspitze (Lichtquelle) abgelesen werden, da die Höhe (als orthogonale) zur Grundfläche (x2-x3-Ebene) genau durch diesen Wert  angegeben wird.

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Oh ja, hab ich gar nicht dran gedacht. Danke für den Hinweis.

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Und bei (5) soll es natürlich V = 1/3 * Dreieck * Höhe heißen. Ist wohl aus Flüchtigkeit entstanden.

Answer 3

OK ich wollte / will mich nicht lächerlich machen.... Oder eigentlich ist es mir egal...

Es ist halt so, wenn man sich mit einem Thema nicht mehr beschäftigt, hat man schnell keine Ahnung mehr.

Das kennt jeder Mathematiker / Naturwissenschaftler.

Zwei einfache Fragen: Was berechnet ein Computer bei dieser Aufgabe:

1 + 1,.5 * 10^65 - 1,.5 * 10^65 -1 = ?

0 oder -1 und warum?

Oder warum fallen die Elektronen nicht aus der Steckdose?

Karsten Kutschan

Comments

Naja, das kommt darauf an. Wenn man das mit einer Floatingpoint-Operation berechnet, dann fällt die 1 am Anfang weg, weil die Mantisse nicht groß genug ist und der Rechner der Reihe nach aufsummiert - somit ergibt sich -1. Das kann man zeigen indem man einfach die Reihenfolge ändert. Bei symbolischer Rechnung entsteht das Problem nicht.

Ich denke die ein paar Elektronen "fallen" schon aus der Steckdose, aber ansonsten ist die Luft ein hinreichend guter Isolator, so dass kein Strom fließt zwischen Leiter und Umgebung, auch wenn da ein Potentialunterschied ist.  Die Netzspannung ist kleiner als die Durchspruchspannung von Luft.

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Das war wohl ironisch gemeint. Sorry, hab ned aufgepasst.
Nicht Durchspruch sondern Durchbruch ...

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Ich hab 'nen dummen Rechner. Der produziert nur ein Syntax Error :(

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Naja, ich hab das mit MatLab berechnet, da hab ich ein paar Stellen mehr zur Verfügung. Mein Taschenrechner kann das auch nicht.... hm, obwohl, er kann's auch aber produziert den gleichen Fehler.

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Wolframalpha liefert mit dieser Aufgabe gleich eine Repetition in Vektordarstellung:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1+%2B+1%2C.5+*+10%5E65+-+1%2C.5+*+10%5E65+-1+

Wolframalpha macht aus jedem Input den aus seiner Sicht/Erfahrung plausibelsten mathematischen Input. Und beantwortet dann, was seiner Meinung nach möglicherweise gefragt wird.

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Naja, vielleicht handelt es sich auch um eine Schreibweise die ich nicht kenne. Schließlich steht da
1 + 1,.5 * 10⁶⁵ - 1,.5 * 10⁶⁵ -1 = ?. Wenn das kein Schreibfehler ist, dann könnte man das tatsächlich als Vektor interpretieren. Hm. Na, wer weiß. Vielleicht meldet sich Hr. Kutschan nochmal und klärt uns auf.
Würd mich interessieren.

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1 + 1,5 * 10^65 - 1,5 * 10^65 -1 = ?

-1 oder Klammern setzen, dann kommt das richtige Ergebnis raus: 0.

Auch das mit den Elektronen stimmt.

Karsten Kutschan

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Das mit dem Vergessen kenne ich auch. Das lässt sich leider nicht ändern. Ich denke derjenige, der da geantwortet hat, ist vielleicht noch ein wenig zu jung um die Erfahrung gemacht zu haben. Es ist aber ein Unterschied ob man es schon mal gekonnt hat oder noch nie. Bei Ersterem fällt einem das erneute Einarbeiten in die Thematik dann wesentlich leichter.

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Ist das nicht eine Frage, die hier als "Antwort" gestellt wurde? Was hat das mit der ursprünglichen Aufgabe zu tun? Bitte neue Frage für eine neue Frage stellen! https://www.mathelounge.de/ask

Answer 4

Also, ich habe 2015 Abi gemacht und diese Aufgabe von 2013 als Übung bekommen. Das war wirklich kniffelig, aber für alle, die das auch mit konkreten Zahlen wissen wollen-hier das Ergebnis von der Teilaufgabe d):

1.)V=1/3 *G*h

V=1/3*60*h --> h: Differenz L und M (Schnittpunkt der Gerade von L mit der ABC` Ebene:

E(A`B´C´)=(0/10/10)+r*(0/5/2)+s*(0/(-80/90)/(88/9))--> Umwandeln von Parameter in Koordinatenform-->Kreuzprodukt: (1/0/0) (Gekürzt!!!!!)

Gerade L=l=(40/10/18)+r*(1/0/0) x=0 (weil es ja auf der Leinwand, also der y-z Ebene ist, wo x folglich 0 ist)

Ergebnis: r=-40 in l einsetzen--> M (0/10/18)

/LM/=Wurzel: (40-0)^2+(10-10)^2+(18-18)^2 ;Länge  L zu M =40dm

also: V=1/3*60*40=800dm^3

2.)Parameterform: E(ABC) zu Koordinatenform umwandeln, Ergebnis: 2x-2y-z=24 , Normalen Vektor (senkrecht zur Ebene): n(2/-2/-1) Das stand auch als Zwischenergebnis angegeben!!!!!

l ist also: (40/10/18)+r*(2/-2/-1)

3.)Schnittpunkt: x=40+2r, y=10-2r, z=18-r (der Gleichung von l entnommen) in E: 2x-2y-z=24 einsetzen und auflösen. r =-2

in l einsetzten--> F (36/14/20) Wieder richtiges Zwischenergebnis!!!!!!!!! Abstand von L und F wie in 1.), 6dm

4.) V(ABCL)=1/3*4,5*6=9dm^3,

zu guter Letzt: 800dm^3-9dm^3=791dm^3