DGL. Variation der Konstanten - Lösung bestimmen

Question

ich scheitere leider völlig an dieser Aufgabe,

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lösung y(x) des reellen Anfangswertproblems

(1 + x⁴)y'(x)  +  2x³y(x) + ( x /√(x⁴+1) ) = 0       ; y(0) = 1

Verwenden Sie dabei das Vorgehen der Variation der Konstanten.

???

lG und danke für jede Hilfe

Answer 1

Hallo

Du berechnest zuerst die homogene Gleichung

(1 + x⁴)y'(x)  +  2x³y(x) =0 mit Trennung der Variablen.

y'=dy/dx

Danach gibt es 2 Möglichkeiten , weiter zu rechnen

a) setze C=C(x)

b) mit der Lösungsformel

Womit habt Ihr das macht?

Die AWB setzt Du zum Schluß ein.

Comments

Hallo

hier der Weg über die Lösungsformel.

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und hier der Rest

Answer 2

Zuerst berechnest du eine Lösung der homogenen DGL:
(1 + x⁴)y'(x)  +  2x³y(x) =0

(1 + x⁴)y'(x)  = - 2x³y(x)
Integral  y'/y = Integral  (-2x^3) /(1+x^4)
ln(y) =  - 1/2 ln ( 1+x^4) + C             | e^x
y = e^{-1/2 ln ( 1+x^4) + C  }
y =  (1+x^4)^{-1/2} * e^C
y = (1+x^4)^{-1/2} * C                 (1)

Jetzt setzt du C = C(x)
Diese Lösung musst du jetzt in die Inhomogene Gleichung einsetzen.(Berechne vorher am besten y' mit der Produktregel) . Dabei fällt dann ein Teil weg. Du erhältst dann eine weitere DGL. Löse nach C auf. Hast du dein C bestimmt, so setze dein berechnetest C oben in Gleichung (1) ein. Du hast nun deine Lösung der DGL