Wie löse ich die Gleichung 3^{2x} = 3^{x-1} auf?

Question

Gib die Lösungen folgender Gleichungen an:

a) 3^{2x} = 3^{x-1}

b) 5 x 2^{x} = 2 x 5^{x}

c) 3 x 4^{x} = 6 x 10^{x}

Answer 1

Hallo

zua)

(3^x)^2 = 3^ *3^{-1}

Substitution: z= 3^x

z^2 = z/3

z^2-z/3=0

z(z-1/3)=0

z_1=0 ->0= 3^x ->keine Lösung

z_2=1/3 ->3^{-1}= 3^x

->x=-1 als Lösung

Answer 2

a) 3^2x = 3^x-1 

3^{2x} = 3^{x-1}
9^{x} = 3^{x}/3
9^{x}/3^{x} = 1/3
3^{x} = 1/3
x = -1

b) 5 x 2^x = 2 x 5^x

5*2^x = 2*5^x
2^x/5^x = 2/5
(2/5)^x = 2/5
x = 1

c) 3 x 4^x = 6 x 10^x

3*4^x = 6*10^x
4^x/10^x = 6/3
(4/10)^x = 2
(2/5)^x = 2
x = LN(2) / LN(2/5) = -0.7564707973

Comments

Hi, die Aufgabe b) finde ich am schönsten, hier gibt es auch folgenden Weg:

$$ 5 \cdot 2^x = 2 \cdot 5^x $$ist äquivalent zu

$$ 2^{x-1} = 5^{x-1} $$Potenzen mit verschiedener Basis sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten null sind, dies ist hier genau dann der Fall, wenn \(x=1\) ist.

Answer 3

a) 3^2x = 3^x-1

Die Gleichung stimmt wenn
2x = x - 1 ist
x = -1

b) 5 x 2^x = 2 x 5^x
2^x / 5^x  = 2 / 5
( 2 / 5 )^x = 2 / 5
x = 1

c) 3 x 4^x = 6 x 10^x
4^x / 10^x = 6 / 3
( 4 / 10) ^x = 2
0.4^x = 2
x * ln ( 0.4 ) = ln ( 2)
x = -0.75647