Wie finde ich den Winkel dieser Kreisgleichung?

Question

Gegeben ist θ im Bereich 0 ≤ 0 < π und die Gleichung x² + y² + 4xcos(θ) + 8ysin(θ) + 10 = 0.

Die Frage ist nun für welchen Bereich aus a), b), c) oder d) stellt die Gleichung einen Kreis dar?

a) 0 < θ < π/3

b) π/4 < θ < 3π/4

c) 0 < θ < π/2

d) alle Werte von θ

Answer 1

Die bestimmende Gleichung eines Kreises ist:
(x-x₀)²+(y-y₀)² - r² = 0

Da Quadratzahlen immer positiv sind, muss das Zeichen vor dem absoluten Glied also zwingend ein Minus sein!

 

Die obige Gleichung kann man mit Hilfe der binomischen Formeln folgendermaßen in die bestimmende Gleichung umwandeln:

x²+y²+4xcos(θ) + 8ysin(θ) + 10 = 0

x² + 4xcos(θ) + y²+8ysin(θ) + 10 = 0

x² + 4xcos(θ) + 4cos²(θ) - 4cos²(θ) + y² +8ysin(θ) + 16sin²(θ) - 16sin²(θ) + 10 = 0

Ich habe an der Gleichung eigentlich nichts geändert, da sich grüne und rote Summanden jeweils wegheben. Aber ich kann jetzt die binomischen Formeln anwenden:

(x+2cos(θ))² + (y+4sin(θ))² + 10 - 4cos²(θ) - 16sin²(θ) = 0

Wir haben das Problem jetzt also dahingehend vereinfacht, dass

10 - 4cos²(θ) - 16sin²(θ) ≤ 0

sein muss, damit wir schließlich die Wurzel aus der Gegenzahl ziehen können, um den Radius zu erhalten.

Kommst du damit schon weiter?

Comments

Das ist wirklich super! Ich habe mittlerweile den vorgeschlagenen Lösungsweg gefunden und soweit wie du gekommen bist ist alles richtig. Danach komme ich leider wieder nicht ganz mit:

√12sin²(θ) - 6 wird als Radius angegeben vorausgesetzt, dass sin²(θ) > 0,5.

Dann wird gesagt, dass wir im Bereich 0 ≤ 0 < π, sin(θ) ≥ 0 haben und daher (1 / √2) < sin(θ) brauchen. 

Wie soll man das jetzt verstehen. Als Lösung wird b) angegeben.

 

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Genau, b) ist richtig.

Als nächsten Schritt brauchst du den trigonometrischen Pythagoras:

sin²(x) + cos²(x) = 1

 

Damit kannst du die Ungleichung ein bisschen umformen, wir hatten ja bisher:

10 - 4cos²(θ) - 16sin²(θ) ≤ 0

10 - 4cos²(θ) - 4sin²(θ) - 12sin²(θ) ≤ 0

Also einfach den dritten Term auseinandergezogen. Jetzt kann man die -4 ausklammern:

10 - 4*(cos²(θ)+sin²(θ)) - 12sin²(θ) ≤ 0

In der Klammer den trigonometrischen Pythagoras, also einfach die ganze Klammer durch eine 1 ersetzen.

10 - 4 - 12sin²(θ) ≤ 0  | + 12sin²(θ)

6 ≤ 12sin²(θ)  | : 12

1/2 ≤ sin²(θ)

Hier musst du jetzt wegen dem positiven Definitionsbereich von θ nur die positive Wurzel beachten - und darum auch das Relationszeichen nicht umkehren.

Also: sin(θ) ≥ 1/√2

Das kann man jetzt mit dem Taschenrechner ausrechnen, das Ergebnis ist π/4.

Wenn man außerdem die Symmetrie des Sinus um die Achse bei x=π/2 beachtet, dann ergibt sich der Endpunkt des Lösungsbereichs als 3π/4.