Gruppentafel Hintereinanderausführung. f_(1)(x) = x, f_(2)(x) = 1-x, ...

Question

Ich finde leider keinen Ansatz beim aufstellen der Gruppentafel für

$${ f }_{ i }:\left\{ \begin{matrix} R/\{ 0,1\} \quad \rightarrow \quad R \\ x\quad \rightarrow \quad { f }_{ i }(x) \end{matrix} \right \}$$

Mit den folgenden 6 Funktionen:

$$ { f }_{ 1 }(x)=x\\ { f }_{ 2 }(x)=1-x\\ { f }_{ 3 }(x)=\frac { 1 }{ 1-x } \\ { f }_{ 4 }(x)=\frac { 1 }{ x } \\ { f }_{ 5 }(x)=1-\frac { 1 }{ x } \\ { f }_{ 6 }(x)=\frac { x }{ x-1 } $$

Kann mir hier jemand eine Hinweis geben wie ich die Elemente der Tafel bestimme?

Comments

Vergleiche

https://www.mathelounge.de/234983/hindereinanderausfuhrund-nach-gruppe-prufen?show=235052#a235052

Selbe Aufgabe unterschiedliche Teilfragen.

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Zunächst einmal hast Du vergessen, die Verknüfung mitzuteilen. Nun, es wird sicher die Verkettung (Hintereinanderausführung) von Funktionen gemeint sein. Und lange nach einem Ansatz zu suchen, ist auch ein wenig seltsam, die Gruppenelemente sind doch gegeben und es genügt auf jeden Fall, die 36 Verknüpfungen einfach auszurechnen. Natürlich wird man mit wesentlich weniger Arbeit auskommen können. Man könnte mal das Neutrale identifizieren und auchmal schauen wer hier vielleicht zu sich selbst invers ist usw.

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Ja so in etwas.

Mir erschliessst sich aber noch nicht wie ich dann f1(f2) bilde.
Meine Vorgehensweise wäre es dann jeweils zu ersetzen. Sprich

f1(f2) = x*(1-x) = x - x^2

Das wiederum entspricht aber keiner einzigen der gegebenen Funktionen. Wie verfahre ich dort beim aufstellen der Gruppentafel?

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Du hast falsch eingesetzt!             

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ullim: Zusätzliche Klammer ist wohl hier im Editor die einzige Möglichkeit zweizeilige Definitionen einigermassen lesbar darzustellen. vgl. auch : https://www.mathelounge.de/234931/verstandnis-aufgabenstellung-unabhangigkeit-funktionen?show=235411#c235411

EDIT: Yakyu weiss, wie so was geht. Vgl. Kommentar dort.

Gast: Gruppentafeln musst du nur bei Gruppen machen. https://www.mathelounge.de/234983/hindereinanderausfuhrund-nach-gruppe-prufen

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Gruppentafeln musst du nur bei Gruppen machen.

Ist das denn keine?

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Ich denke schon. Würde das aber zuerst begründen.

Answer 1

Hi,
nur ein paar Tipps, den Rest solltest Du dann selber können.
$$ f_1 \circ f_i = f_i $$ weil \( f_1 \) die Identität ist.
$$ f_i \circ f_1 = f_i $$ aus dem gleichen Grund.
Nun noch ein anderes Beispiel.
$$ f_2 \circ f_3 = f_6  $$ weil
$$ f_2(f_3(x)) = f_2\left(\frac{1}{1-x}\right)=1-\frac{1}{1-x} = \frac{x}{x-1} = f_6(x) $$ gilt.