Ungleichung auflösen: e^2/(n+1)!)*2^{n+1}≤0.01

Question

Folgende Ungleichung ist aufzulösen:

\( \frac{e^{2}}{(n+1) !} 2^{n+1} \leq 0.01 \)

Ansatz/Problem:

Hat vielleicht jemand einen Lösungsansatz? Komme irgendwie nicht drauf wie ich alle n auf eine seite bekomm.

Comments

e^2 / (n + 1)! · 2^{n + 1} ≤ 0.01

2^{n + 1} / (n + 1)! ≤ 1/(100·e^2)

(n + 1)!/2^{n + 1} ≥ 100·e^2

Subst. m = n + 1

m! / 2^m ≥ 100·e^2

m! / 2^m - 100·e^2 ≥ 0

Hier kann man jetzt für m mal ein paar Werte probieren.

Ich komme auf m = 10 bzw. n = 9

Das könnte man jetzt noch per Induktion beweisen.

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Wenn das eine Art Beweis (Vorstufe zur Epsilon-Methode) sein soll, dass du es links mit einer Nullfolge zu tun hast, musst da das als solches kennzeichnen. Da genügen grobe Abschätzungen.

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Es handelt sich hierbei um eine Taylorentwicklung. Hier das ganze Bsp:Wieviele Glieder der Taylorentwicklung von e^x an der Stelle a=0 müssen Sie berückstichtigen, wenn Sie e^2 mit einer Genauigkeit von mindestens 1% berechnen wollen?

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In der Rechnung benutzt du e^2 deren Wert du noch gar nicht kennst ?

Sollte man das nicht lieber mit einer Restgliedabschätzung bei dem Taylorpolynom machen?

Man entwickelt ja sicher e^x an der Stelle 0.

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In der kompletten Angeben die ich gepostet habe ist es aber schon gegeben. Wieviele Glieder der Taylorentwicklung von e^x an der Stelle a=0 müssen Sie berückstichtigen, wenn Sie e^2 mit einer Genauigkeit von mindestens 1% berechnen wollen?Der letzte Satz. Daher bin ich davon ausgegangen das ich e^2 nehmen darf.

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Die Taylorabschätzung macht man ja gerade dann, wenn es zu mühsam ist e^2 exakt auszurechnen. Wenn man einen TR hat und einfach nur e^2 eintippen braucht dann kann man sich die Taylorabschätzung auch gleich schenken :)

Wie gesagt. Es geht hier sicher um eine Restgliedabschätzung. Das ist eigentlich meistens gefragt wenn es um Taylorpolynome geht.

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Ja genau, es geht schon um eine Restgliedabschätzung. Das wär eigentlich mein Ansatz dazu gewesen, aber wenns so nicht funktioniert, weiß ich nicht wirklich weiter ..

Answer 1

$$ln( \frac{2^m}{m!}) $$
$$ln( {2^m})-ln( {m!}) $$
$$m \cdot ln( {2})-\sum_{k=1}^m \ln( {k}) $$

Comments

Hi, damit ist die Ungleichung aber noch nicht nach \( n \) aufgelöst denn in der Summe ist die Unbekannte ja auch noch enthalten.. Ich würde es numerisch machen.

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Für die Summe gab es glaubich eine Formel ... oder nicht ?

Im übrigen ist das keine komplette Aufgabenlösung, sondern ein Nachdenkhinweis, wie man die Aufgabe bearbeiten könnte!

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Für die Summe gab es glaubich eine Formel ... oder nicht ?

\(\text{ln}(m!)\)?

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$$\ln ( a \cdot b \cdot c \cdot \cdots ) = \ln ( a)+\ln ( b)+\ln (  c)+ \cdots $$

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Ja, aber wenn Du das hier anwendest, rechnest Du doch wieder dahin zurück, wo Du hergekommen bist... oder?

Answer 2

Hi, \(n\) steht doch schon auf einer Seite!

Man kann eine solche Ungleichung auch lösen, indem man sich überlegt¹, dass die linke Seite monoton fällt und dann mal ein paar Werte für \(n\) einsetzt. Dann ist die Ungleichung in wenigen Schritten gelöst.

¹ ggf. über vollständige Induktion