Begründe ob ein Funktionswert, eine Polstelle oder Lücke vorliegt:

Question

a.) y=x-3,x0=2 Ich kann hier behaupten,dass bei 3 eine Lücke der Funktion vorliegt weil ich für f(3)=3-3=0 erhalte. Stimmen meine Annahmen und wenn ja wie berechne ich nun die Polstellen. Was bedeutet, begründen ob ein FUNKTIONSWERT vorliegt. Warum sollte er denn nicht vorliegen wenn die Funktion gegeben ist?

Comments

Könntest du eventuell die gesamte Aufgabe hier stellen. Insbesondere mit dem Funktionsterm.

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Das ist eine lineare Funktion, se kann auf ganz IR definiert werden. Wieso sollte sie eine Lücke haben?

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Das war die gesamte Aufgabe die in meinem Buch steht.

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Stimme dir zu, eine lineare Funktion hat natürlich keine Lücken.

Answer 1

y = x - 3

Wenn das wirklich deine Funktion sein soll ist das eine lineare Funktion. Lineare Funktionen haben wie alle ganzrationalen Funktionen weder Polstellen noch Definitionslücken.

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Im Lösungsbuch steht einfach -1 dort und jetzt weiß ich nicht so recht was ich damit anfangen soll.

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Es liegt ein Funktionswert vor und der ist für x = 2

y = x - 3 = 2 - 3 = -1

Answer 2

Ok, die Gleichung \(y=x-3\) ist für alle reellen Zahlen definiert und eine entsprechende Funktion an der Stelle \(x_0=2\) dann auch.

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Wenn ich dann zu b.) komme....

y=x²/x     ,x0=0

Hier hat doch die Funktion an der Stelle f(0) eine Lücke und wie finde ich jetzt die Polstelle?

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Die Funktion hat an der Stelle \(x=0\) ein Lücke und keine Polstelle!

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Ja das habe ich jetzt verstanden.

Also bei:

y=x²-4/x+4 mit x0=-2

bekomme ich -4 eine Polstelle weil der Nenner Null wird  wenn ich das jetzt richtig verstanden habe.

Was macht denn die Polstelle eigentlich und warum bekomme ich die gerade wenn ich den Nenner Null setze?

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y = x^2 - 4/x + 4
Für x = 0 ist 4 / 0 nicht definiert.

Der Graph zeigt dann eine Polstelle

~plot~  x^2 - 4/x + 4 ; [[ -6 | 6 | -60 | 60 ]]~plot~

lim x −> 0(-) = ∞ ( linksseitiger Grenzwert )
lim x −> 0(+) = - ∞ ( rechtsseitiger Grenzwert )

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Bsp.) y=x²-5x/x²-25  ,x0=5

1. Das x0=5 bedeutet nicht das die Funktion dort eine Nullstelle hat sondern durch diesen Punkt geht denke ich.

Nun weiß ich das eine Nullstelle einer gebrochenrationalen Funktion dann vorliegt wenn das Zaehlerpolynom den Wert Null annimmt und das Nennerpolynom einen von Null verschiedenen Wer, daher behaupte ich auch,dass die gegebenen x0=5 nichts mit der Nullstelle zu tun haben.

Wann wird jetzt der Zaehler Null:

R:

f(0,5)=0,5²-5*0,5/0,5²-25

f(0,5)=2,5-2,5/2,5-25

f(0,5)=0/-22,5

Somit ist 0,5 meine Nullstelle.

Die -22,5 ist jetzt der Funktionswert  an der NS 0,5 oder?

AW: Es ist eine Nullstelle bei f(x)=0,5 vorhanden,es liegt keine Polstelle vor und Lücken bei 5.

Ich hoffe das stimmt so einigermaßen.

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Oh, Oh, spikemike,
da geht es drunter und drüber und kreuz und quer
bei dir. Das kann ich nicht übers Internet nicht alles erklären.

0 ist eine Polstelle
5 ist eine Nullstelle.

Schau dir einmal den Graph an und vergleiche mit deinen
Ansichten

~plot~ x^2 - 5 * x / x^2 - 25 ~plot~

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Die Polstelle ist Null weil 0 in die Funktion eingesetzt eben 0 ergibt. Nun steht im Lösungsbuch 0,5 und was soll ich mit denen machen. Das gegebene x0 ist also doch eine Nullstelle.

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Dir scheint der Unterschied zwischen Nullstelle und Polstelle
überhaupt nicht klar zu sein

Nullstelle : ist der Schnittpunkt zwischen dem Graph und der x -Achse
f ( x ) = 0
f ( x ) = x^2 - 5x / x^2 - 25 = 0
x^2 - 5x / x^2 - 25 = 0
x^2 - 5 / x - 25 = 0
Es gibt 3 Nullstellen bei ( etwa )
x = -5
x = -0.25
x = 5
Diese Lösungen lassen sich nicht algebraisch finden
sondern z.B. über das Newtonverfahren.

Bei einer Polstelle ist der Funktionswert einer Funktion nicht
berechenbar. 5x/x^2 ist für x = 0 nicht berechenbar. Division durch 0.

Siehe den Graphen.

So. Das war mein letzter Beitrag.

mfg Georg

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Ich vermute es war eh die Funktion

f(x) = (x^2 - 5·x) / (x^2 - 25)

f(x) = (x·(x - 5)) / ((x + 5)·(x - 5))

gemeint ...

Bei x = 5 hätte man eine behebbare Definitionslücke, weil wir dort die Nullstelle im Zähler und Nenner kürzen können.

Bei x = -5 hätte man eine Polstelle, weil nur der Nenner dort eine Nullstelle hat.

An allen anderen Stellen hat man normale Funktionswerte, die man auch berechnen kann.