Kommutatives Diagramm: Beweis: Eigenvektoren der Abbildung?

Question

Aufgabe:

Sei \(V\) ein endlichdimensionaler Vektorraum über \(\mathbb{K}\), seien weiterhin \(\Phi\) und \(\varphi\) zwei (Basis-)Isomorphismen (bezüglich beliebiger Basen von \(V\)).

Das Folgende soll ein kommutatives Diagramm sein:

Es ist jetzt zu beweisen, dass es ein \(\lambda\in\mathbb{K}\) gibt, sodass \(f = \lambda\cdot Id_V\).

Comments

Die Frage scheint entweder schlecht gestellt worden zu sein, zu schwer zu sein oder irgendwie aus anderen Gründen umgangen zu werden...?

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Danke, ich hab was, das trifft sehr genau das was ich brauche:
https://www.mathelounge.de/227946/endomorphismus-beweis-von-phi-circ-circ-phi-forall-phi-mathbb
Leider ist auch diese Frage offen...

Ich habe auch schon diese hier gestellt:
https://www.mathelounge.de/236236/was-sind-die-mindestanforderung-an-zwei-matrizen-sodass-ba
Die könnte helfen, ist aber offen :D
Danke jedenfalls!

Answer 1

man beachte:

https://www.mathelounge.de/236935/darstellungsmatrix-lambda-id_v-beweis-jeder-basis-gleich#c236956

Sei \(M\) die Darstellungsmatrix eines Basiswechsel zweier beliebiger Basen von \(V\). Da \(f\) zu jeder Basis dieselbe Darstellungsmatrix \(A\) muss gelten:

$$ AM = MA $$

Da die zwei Basen mit Dimension \(n\) beliebig sind, ist \(M\) eine beliebige, invertierbare \(n \times n \)-Matrix. Die einzigen Matrizen die kommutativ zu allen (invertierbaren) Matrizen sind, sind die vielfachen der Einheitsmatrix.

Gruß

Comments

Danke, das ist ein Wort! :)

Ich muss (leider) zugeben, dass ich so weit schon auf den verschiedensten Wegen gekommen war... :

Da das Diagramm kommutativ ist, gilt:
\(f = \Phi^{-1}\circ A\circ \Phi\).
Nun gilt aber auch
\(f = \varphi^{-1}\circ A\circ \varphi\) , also

\(\Phi^{-1}\circ A\circ \Phi ~~=~~ \varphi^{-1}\circ A\circ \varphi\) ,damit
\(\varphi\circ\Phi^{-1}\circ A\circ\Phi\circ\varphi^{-1} ~~=~~ A\)

usw...

...und dass mir gerade der letzte Teil im Beweis fehlt, der bei Dir etwas kurz kam...

Danke nochmal auf jeden Fall!

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Ok gut war mir natürlich nicht klar, dass du selber schon so weit warst ;). Ist dir denn der letzte Schritt klar?

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Dann wäre ja \(\varphi\circ\Phi^{-1}\) der Basiswechsel \(M\), also gilt \(M\circ A\circ M^{-1} ~=~ A\), also \(A\circ M ~=~ M\circ A\)...

Was mir noch fehlen würde ist der Teil, der zeigt, dass die Matrix \(A = \lambda\cdot E\) ist, wenn \(M\) nxn und invertierbar und beliebig...

Dankeschön nochmal bis hierher... :))

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Du musst dir einfach nur folgende Beispiele für \(M\) anschauen:

Sei \(E_{ij}\) die Matrix für die der Eintrag \(a_{ij} = 1 \) und sonst alle Einträge \(0\) sind.

Jetzt setze: \(M = E+E_ {ij} \)

Dann muss gelten: \(A E_{ij} = E_{ij} A \)

Was bedeutet das für die Einträge von \(A\)? Nicht vergessen, \(i,j \in \{1,...,n\} \) beliebig.

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eine Frage: Ist es nicht eigentlich

\(f = φ ° A^{-1} ° φ^{-1} \)

sein? Denn bei Verknüpfungen fängt man doch von rechts an, oder nicht?