Berechnen Sie den Grenzwert der Funktion: y=(x²+3x-4)/(x²-1)

Question

R:

y=(x²+3x-4)/(x²-1)

y=x²(1+3/x-4/x²)/x²*(1-1/x²)

Nun denn jetzt könnte ich wieder zum kürzen übergehen......

Im Nenner könnte ich die Linearfaktorzerlegung machen, führt mich aber auch nicht zum Ziel. Dann habe ich noch die Polynomdivision durchgeführt, die bringt mich auch nicht weiter.

Answer 1

Zunächst einmal wieder ein Hinweis auf eine fehlende Klammerung

y=(x²+3x-4)/(x²-1)
nicht
y=x²(1+3/x-4/x²)/x²*(1-1/x²)

sondern
y=x²(1+3/x-4/x²)/ ( x²*(1-1/x²) )

Nachdem dir die Antwortgeber eine Antwort auf lim x −> ∞ gegeben
haben kam dann " gemeint war "

lim x −> 1

iim x −> 1   [ ( x^2 + 3*x - 4 ) / ( x^2 -1 ) ]
wird zu 0 / 0. Ein Fall für l ´Hospital

( x^2 + 3*x - 4 ) ´ / ( x^2 -1 ) ´
( 2x + 3 ) / ( 2x )

iim x −> 1 [ ( 2x + 3 ) / ( 2x ) ] = 5 / 2

Comments

Vielleicht hilft dir ja generell weiter

http://www.abiturloesung.de/

- Analysis Grundkurs
- Abituraufgabe ausdrucken
- versuchen diese zu lösen
- Video anschauen
- Lösung ausdrucken, vergleichen, nacharbeiten

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Ich habe es gerade gerechnet und auch soweit verstanden. Mit der Polynomdivision habe ich mir im übrigen die Asymptote berechnet.
Danke, ich werde an die Klammern denken, .
Ps.: Die empfohlene Seite ist gut und die hier :http://www.free-education-resources.com/www.mathematik.net//grenzw-fkt/g01s24.htm ist ach nicht schlecht.

Answer 2

Super  gemacht. Kürze jetzt ! Was vebleibt ?

LG B.

Answer 3

Hi, Funktionen, die als Quotienten gleichgradiger Polynome dargestellt werden können, nähern sich "im Unendlichen" immer dem Quotienten der Leitkoeffizienten.

Comments

y=(x²+3x-4)/(x²-1)

y=x²(1+3/x-4/x²)/x²*(1-1/x²)

y=(1+3/x-4/x²)/(1-1/x²)

Bevor ich jetzt weiter kürze.......

Das Ergebnis sollte 5/2 und nicht 1/1=1 sein, mache ich was falsch?

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Jedoch soll ich hier den Grenzwert gegen 1 bilden,mfg

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Jedoch soll ich hier den Grenzwert gegen 1 bilden,mfg

Oder möchtest damit hinweisen, dass die zur Nullfolge werden?

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nachvollziehen OK aber die hatte ich noch nicht, .

Aber wenn es kein Placebo ist why not.

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Hi, dass \(x\) gegen \(1\) laufen soll, hast Du aber oben nicht erwähnt, das wäre doch eine wesentliche Information gewesen! In diesem Fall hilft Dir deine Umformung gar nicht weiter, da Du beim Einsetzen immer noch einen \(0/0\)-Fall bekommst. Beginne stattdessen so:
$$ \lim_{x\to1} \frac { x^2+3x-4 } { x^2-1 } = \lim_{x\to1}\frac { (x-1)(x+4) } { (x-1)(x+1) } = \,\,... $$Kürze nun und berechne den Grenzwert durch Einsetzen.

(\(x=1\) ist eine stetig hebbare Definitionslücke.)

Answer 4

  Was Gasthh914 sagt, kannst du auch über die " Krankenhausregel " nachvollziehen.

Comments

Noch jemand einen Kommentar aus dem Krankenhaus oder sonstwoher ?

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  Weißt du, was ===> Polynomdivision ( PD ) ist?

    f ( x ) : g ( x ) = q ( x ) Rest r ( x )   ( 1 )

   Dabei ist

     Grad ( q ) = Grad ( f ) - Grad ( g )    ( 2 )

    Da in unserem Falle f und g gleichen Grad haben, ist q somit ein Polynom vom Grade Null, eine konstante " c-Zahl " , die ===> Asymptote im Unendlichen. Ferner gilt ( wie beom schriftlichen Dividieren )

    Grad ( r ) < Grad ( g )   ( 3 )

     so dass dieser Beitrag asdymptotisch immer gegen Null gehrt.

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Ich habe die Polynomdivision nicht nur selber ausprobiert sondern auch über den Herrn arndt bruenner durchlaufen lassen, die führt mich wie bereits erwähnt nicht zum ziel, was eigentlich nicht ganz wahrhaben möchte aber so it is.

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Wenn x gegen 1, dann ist natürlich Polynomdivision "Erste Wahl", da hat godzilla recht !

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PD:

(x²+3x-4)/(x²-1)=   5                      .....x²/x=x*(x²-1)

-(x³-x)

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4x-4         ..........x/x=1*(x²-1)

-(x²-1)

-------------------------------------

4x-x²+5                  ...............x²/x=x*(x²-1)

-(x²-1)

----------------------------

da stehe ich schon wieder an bei der M...