Vektorraum gegeben - lineare Unabhängigkeit beweisen

Question

Aufgabe:

Es sei \( V \) ein \( \mathbb{R} \)-Vektorraum, \( a, b, c \in V \) und \( x:=b+c, y:=c+a, z:=a+b \). Zeigen Sie:

a) \( \operatorname{span}(a, b, c)=\operatorname{span}(x, y, z) \).

b) \( a, b, c \) sind genau dann linear unabhängig, wenn \( x, y, z \) linear unabhängig sind.

c) Gelten die Aussagen aus (a) und (b) auch für allgemeine Vektorräume?

Comments

Irgendwo scheine ich einen Fehler zu haben.
Wenn man für a) mal die Definition einsetzt:
$$span(a,b,c)\quad =\quad \{ { \lambda  }_{ 1 }a+{ \lambda  }_{ 2 }b+{ \lambda  }_{ 3 }c\} \\ span(x,y,z)\quad =\quad \{ { \lambda  }_{ 1 }x+{ \lambda  }_{ 2 }y+{ \lambda  }_{ 3 }z\} \quad =\quad \{ { \lambda  }_{ 1 }(b+c)+{ \lambda  }_{ 2 }(c+a)+{ \lambda  }_{ 3 }(a+b)\} \\ =\quad ...\quad =\quad \{ { a(\lambda  }_{ 2 }{ +\lambda  }_{ 3 })+b{ (\lambda  }_{ 1 }{ +\lambda  }_{ 3 })+{ c(\lambda  }_{ 1 }{ +\lambda  }_{ 2 })\}$$
Kommt man selbst mit $$ { \lambda  }_{ 1 }={ \lambda  }_{ 2 }={ \lambda  }_{ 3 }$$ nicht auf die Behauptung span(a,b,c) = span(x,y,z)

Übersehe ich da etwas?

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Also,wenn du das so umformen kannst, dann hast du doch deine Behauptung.
Du kannst deine Faktoren λ₂+λ₃ etc. denke ich mal zu einem neuem Faktor zusammenfassen. Dann hast du direkt die Behauptung..a(λ2+λ3)a(λ2+λ3)