Häufungspunkte, Limes Superior

Question

Ich habe folgende Aufgabenstellung:

Es sei (a_n)_n∈N0 eine konvergente Folge mit lim (n->∞) a_n = a ≥ 0. Die Folge (b_n)_n∈N0 sei definiert mit

b_n:=(-1)ⁿ a_n

Bestimme alle Häufungspunkte den Limes inferior und den Limes superior dieser Folge und untersuche sie auf Konvergenz.

Kann mir da vielleicht jemand helfem?

Answer 1

limes superior von b_n (da a ≥ 0): lim n-> ∞ (-1)²ⁿ a_n = 1*a = a

limes inferior von b_n (da a ≥ 0): lim n-> ∞ (-1)²ⁿ⁺¹ a_n = (-1)*a = - a

Da a_n konvergiert (nur ein Häufungspunkt: a) und b_n die alternierende Folge von a_n darstellt, sind limes inferior/superior die einzigen Häufungspunkte von b_n.

Weiter gilt: a =/= - a, außer wenn a = 0.

=> b_n konvergiert nur für den Fall a = 0.