Durschnitt der Mengen ermitteln

Question

Sei \( (N_i)_{i \in I} \) ein System von Mengen \( N_i \). \( M \) ist eine feste Grundmenge in der alle betrachteten Mengen als Teilmengen liegen.

Die Definition des Durchschnitts: Die Menge der \(x \) mit \(x \in N_{i}\) für jedes \(i \in I \).

Es ist \( \bigcap_{i \in \emptyset} N_i = M\).

Die Definition des Durchschnitt verstehe ich so: Es ist die Menge aller \(x\) die in jeder indexierten Menge liegen. Es gibt aber in meinem Beispiel keine indexierte Menge, somit kann da kein \(x\) liegen und die Menge muss \( \bigcap_{i \in \emptyset} N_i\) leer sein. Warum ist meine Schlussfolgerung falsch?

Answer 1

Die Definition des Durchschnitts bei einer leeren Indexmenge
wird so getroffen, weil man sich wohl vorstellen kann, dass
bei nichtleerer Indexmenge es ja heißt
x liegt im Durchschnitt, wenn gilt
x aus N1 und x aus N2 und ....
es gibt also mehrere Einschränkun gen für das x, und nur wenn  die
alle erfüllt sind, ist das x im Durchschnitt.
Wenn nun die Indexmenge leer ist, gibt es keine Einschränkung und
damit ist jedes x aus M eben in diesem "Durchschnitt" mit der leeren Indexmenge.