Für jede Differentialgleichung der Form … gilt das Superpositionsprinzip. (Aussagen zu Differentialgleichungen prüfen)

Question

Aufgabe:

Ich soll begründen, ob diese Aussagen richtig oder falsch sind:

(i) Für jede Differentialgleichung der Form

\( y^{\prime \prime}(t)+a(t) y(t)=b(t) \)

gilt das Superpositionsprinzip. Dabei sind \( a, b: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) beliebige stetige Funktionen.

(ii) Jede Lösung \( y(t) \) von

\( \begin{array}{l} y_{1}^{\prime}=3 y_{1}+y_{2} \\ y_{2}^{\prime}=7 y_{1}-3 y_{2} \end{array} \)

ist beschränkt, d.h. es existiert eine Konstante \( C>0 \) so dass \( \|y(t)\| \leqslant C \) für jedes \( t \in \mathbb{R} \).

Answer 1

Hi,
zu (i)
seien \( y_1(t) \) und \( y_2(t) \) Lösungen der Dgl. \( y''(t) + a(t)y(t) = b(t) \) dann ist die Frage ob \( y_1(t) + y_2(t) \) ebenfalls eine Lösung der Dgl. ist. Durch einsetzten sieht man das gilt
$$ [y_1(t) + y_2(t)]'' +a(t)[y_1(t)+y_2(t)] = 2b(t) $$ und damit gilt das Superpositionsprinzip i.A. hier nicht.

zu (ii)
Die Dgl. kann man schreiben als
$$ y'(t) = A y(t)  $$ mit \( y(t) = \begin{pmatrix} y_1(t) \\ y_2(t) \end{pmatrix} \) und \( A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & -3 \end{pmatrix}  \)
Die Lösung ist
$$  y(t) = e^{At} y_0 $$ mit \( y(t_0) = y_0 \)
Die Eigenwerte von \( A \) sind \( \lambda_1 = -4 \) und \( \lambda_2 = 4 \) Die Matrix mit den zugehörigen Eigenvektoren diagonalisiert die Matrix \( A \) s.d. gilt \( A = V D V^{-1} \)
Damit folgt \( y(t) = V e^{Dt} V^{-1} y_0  \) Setzt man die Eigenwerte in \( D \) ein, ergibt sich
$$  y(t) = V \begin{pmatrix} e^{-4t} & 0 \\ 0 & e^{4t} \end{pmatrix} V^{-1} y_0 $$
Für große \( t \) strebt \( y(t) \) gegen $$ y(t) = e^{4t} \begin{pmatrix} \frac{7}{8} & \frac{1}{8} \\ \frac{7}{8} & \frac{1}{8} \end{pmatrix} y_0 $$
Daran sieht man, dass die Lösung nicht beschränkt ist.