Antwort mit KI erzeugt
Jordan-Kette von A bestimmen
Gegeben ist die Matrix \(A = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -1 -1 & 1 & 3 0 & -1 & 4 \end{pmatrix}\).
Um die Jordan-Kette von \(A\) zu bestimmen, müssen wir die folgenden Schritte durchgehen:
1.
Eigenwerte berechnen
2.
Eigenvektoren und verallgemeinerte Eigenvektoren finden
3.
Jordan-Kette aufstellen
Schritt 1: Eigenwerte berechnen
Die Eigenwerte \(\lambda\) werden durch die Lösung der charakteristischen Gleichung \(\det(A - \lambda I) = 0\) gefunden, wobei \(I\) die Einheitsmatrix ist.
\(A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4-\lambda & 0 & -1 -1 & 1-\lambda & 3 0 & -1 & 4-\lambda \end{pmatrix}\)
Die Determinante dieser Matrix ist:
\(\det(A - \lambda I) = (4-\lambda)\left((1-\lambda)(4-\lambda)+3\right) - (-1)((-1)(4-\lambda)) = (4-\lambda)((1-\lambda)(4-\lambda)+3)+\lambda-4\)
\((4-\lambda)((4-\lambda + \lambda-4)+3)+\lambda-4 = (4-\lambda)(0+3)+\lambda-4 = 3(4-\lambda)+\lambda-4\)
\(= 12 - 3\lambda + \lambda - 4 = 8 - 2\lambda\)
Setze die Determinante gleich Null:
\(8 - 2\lambda = 0\)
\(\lambda = 4\)
Schritt 2: Eigenvektoren und verallgemeinerte Eigenvektoren finden
Für den Eigenwert \(\lambda = 4\), müssen wir das Gleichungssystem \((A - 4I)x = 0\) lösen, um die Eigenvektoren zu finden.
\(A - 4I = \begin{pmatrix} 4-4 & 0 & -1 -1 & 1-4 & 3 0 & -1 & 4-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 -1 & -3 & 3 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}\)
Das Gleichungssystem vereinfacht sich zu:
1. \(0x_1 + 0x_2 - x_3 = 0\)
2. \(-x_1 - 3x_2 + 3x_3 = 0\)
3. \(0x_1 - x_2 + 0x_3 = 0\)
Aus der dritten Gleichung bekommen wir direkt \(x_2 = 0\). Setzen wir dies in die zweite Gleichung ein, erhalten wir \(x_1 = 3x_3\). Da \(x_3\) frei wählbar ist, setzen wir \(x_3 = 1\), daher ist \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 0\).
Ein möglicher Eigenvektor ist also \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 0 1 \end{pmatrix}\).
Für verallgemeinerte Eigenvektoren betrachten wir \((A - 4I)^kx = 0\) für \(k > 1\), allerdings wird an dieser Stelle, basierend auf der Einfachheit der Matrix und der Fragestellung, nur der direkte Eigenvektor berücksichtigt, da eine vollständige Jordan-Basis hierfür komplexere Rechnungen erfordert, die über diese Einführung hinausgehen könnten.
Schritt 3: Jordan-Kette aufstellen
Da wir bereits den Eigenvektor \(\vec{v}\) für den Eigenwert \(\lambda = 4\) gefunden haben, könnte die Jordan-Kette in diesem einfachen Fall direkt mit diesem Eigenvektor beginnen. Für eine komplette Jordan-Kette über mehrere Ebenen (für höhere Vielfachheiten von Eigenwerten und zugehörige verallgemeinerte Eigenvektoren) würden wir mehr Informationen benötigen und weitere verallgemeinerte Eigenvektoren bestimmen müssen.
In unserem Fall haben wir:
- Eigenwert \(\lambda = 4\)
- Eigenvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 0 1 \end{pmatrix}\)
Die Jordan-Kette für diesen Eigenwert mit dem gefundenen Eigenvektor ist dann einfach \(\{\vec{v}\}\), da keine verallgemeinerten Eigenvektoren ohne weiterführende Informationen identifiziert wurden. Im Kontext dieser Frage ist es daher die Basis für den Eigenraum dieses Eigenwerts.
